如何找到涉及对数和求和规则的嵌套for循环的时间复杂度？

Question

因此，我一直在尝试查找下面显示的代码的时间复杂度。我知道第一个for循环会迭代'n'次，并且必须乘以第二个for循环的迭代才能找到大哦时间复杂度。但是，第二个for循环中的条件使我感到困惑。

public static void main(String[] args) {
    int x = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < i; j = j * 2) {
            x = x + 1;
        }
    }
}

如果j每次迭代都乘以2倍，则两个循环的时间复杂度将为O(nlog(n))。但是由于j基于i的值而停止，因此我认为必须涉及求和规则。我对整体时间复杂度的最佳猜测是O(nlog^2(n)？我是对还是错，为什么？

Answer 1

O （log n ）是j上 last （最差）循环的成本，因此 O （ n log n ）是上限边界。问题是它是否较少，因为平均成本较低。但事实并非如此：只有强凸函数会发生这种情况（请考虑一个简单的带有 i 迭代的内部循环，其中平均值只是一个常数乘以 n ），并且对数是凹的。所以毕竟只是 O （ n log n ）。