Question

这是一个数学小定理：

假设u不是A的元素，v不是B的元素，并且f是从A到B的内射函数。令A'=联合{u}，B'= B联合{v} ，并定义g：如果x在A中且g（u）= v，则通过g（x）= f（x）定义A'-> B'。

如果我正在编写类似OCaml的代码，则将A和B表示为类型，将f表示为A-> B函数，类似

module type Q = 
  sig
   type 'a
   type 'b
   val f: 'a -> 'b
  end

然后定义一个函子

module Extend (M : Q) : Q = 
  struct
    type a = OrdinaryA of M.a | ExoticA
    type b = OrdinaryB of M.b | ExoticB
    let f x = match x with
        OrdinaryA t -> OrdinaryB ( M.f t)
      | Exotic A -> ExoticB
  end;;

和我的定理是，如果Q.f是内生的，那么(Extend Q).f也是内射的，我希望我的语法大致正确。

我想在Isabelle / Isar中做同样的事情。通常，这意味着写类似

的东西

definition injective :: "('a  ⇒ 'b)  ⇒ bool"
  where "injective f  ⟷ ( ∀ P Q.  (f(P) = f(Q)) ⟷ (P = Q))" 

proposition: "injective f ⟹ injective (Q(f))"

和Q是……。我不知道如何在Isabelle中进行类似于OCaml中的仿函数Q的单个操作，该操作创建两个新的数据类型以及它们之间的函数。内射性的证明似乎很简单-仅是四格拆分。但在给定功能Q f的情况下，我想帮助定义我称为f的新功能。

Answer 1

这是一个解决方案。我试图为函数Q定义一个“定义”，但是不能这样做；相反，创建一个常数Q（与map十分相似）让我陈述和证明定理：

theory Extensions
  imports Main
begin
text ‹We show that if we have f: 'a → 'b that's injective, and we extend 
both the domain and codomain types by a new element, and extend f in the 
obvious way, then the resulting function is still injective.›
  definition injective :: "('a  ⇒ 'b)  ⇒ bool"
    where "injective f  ⟷ ( ∀ P Q.  (f(P) = f(Q)) ⟷ (P = Q))" 

datatype 'a extension = Ordinary 'a | Exotic

fun Q ::  "('a  ⇒ 'b) ⇒ (('a extension)  ⇒ ('b extension))"  where 
   "Q f (Ordinary u) = Ordinary (f u)" |
   "Q f (Exotic) = Exotic"

lemma "⟦injective f⟧ ⟹ injective (Q f)"
  by (smt Q.elims extension.distinct(1) extension.inject injective_def)

end

伊莎贝尔/伊萨尔邦的仿函子构造

1 个答案: