Question

证明一个简单的定理我在证明中遇到了元级含义。拥有它们还是可以避免它们？如果我应该处理它们，这是正确的方法吗？

theory Sandbox
imports Main
begin

lemma "(x::nat) > 0 ∨ x = 0"
proof (cases x)
  assume "x = 0"
  show "0 < x ∨ x = 0" by (auto)
next
  have "x = Suc n ⟹ 0 < x" by (simp only: Nat.zero_less_Suc)
  then have "x = Suc n ⟹ 0 < x ∨ x = 0" by (auto)
  then show "⋀nat. x = Suc nat ⟹ 0 < x ∨ x = 0" by (auto)
qed

end

我想这可以更容易证明，但我希望有一个结构化的证明。

Answer 1

原则上，元蕴涵==>没有什么可以避免的（实际上它是在伊莎贝尔表达推理规则的本地＆＃34;方式）。有一种规范的方法通常允许我们在编写Isar证明时避免使用meta-implication。例如，为了一般目标

"!!x. A ==> B"

我们可以写在Isar

fix x
assume "A"
...
show "B"

对于您的具体示例，在Isabelle / jEdit中查看时您可能会注意到这一点第二个案例的n突出显示。原因是它是一个自由变量。虽然这本身并不是问题，但在本地修复这些变量更为规范（就像典型的陈述＆＃34;对于任意但固定的......＆＃34;在教科书中）。如，

next
  fix n
  assume "x = Suc n"
  then have "0 < x" by (simp only: Nat.zero_less_Suc)
  then show "0 < x ∨ x = 0" ..
qed

在这里可以再次看到Isar中的fix / assume / show如何与实际目标相对应，即

1. ⋀nat. x = Suc nat ⟹ 0 < x ∨ x = 0

Answer 2

在编写结构化证明时，最好避免对子目标的最外层结构进行元蕴涵（和量化）。即而不是谈论

⋀x. P x ⟹ Q x ⟹ R x

你应该使用

fix x
assume "P x" "Q x"
...
show "R x"

如果P x和Q x有一些结构，可以使用元蕴涵和量化这些。

有多种理由希望fix / assumes优于结构化校样中的元运算符。

有点琐碎，你不必在每个有和show语句中再说一遍。
更重要的是，当您使用fix量化变量时，它在整个证明中保持不变。如果您使用⋀，则会在每个have语句中对其进行新近量化（并且不存在于外部）。这使得无法直接引用此变量，并且通常会使自动化工具的搜索空间复杂化。类似的内容适用于assume vs ⟹。
更复杂的一点是show在存在元意义时的行为。请考虑以下证明尝试：
```
lemma "P ⟷ Q"
proof
  show "P ⟹ Q" sorry
next
  show "Q ⟹ P" sorry
qed
```
在proof命令之后，有两个子目标：P ⟹ Q和Q ⟹ P。然而，最终的qed失败了。这是怎么发生的？

第一个show将规则P ⟹ Q应用于第一个适用的子目标，即P ⟹ Q。使用Isabelle通常的规则解析机制，这会产生P ⟹ P（assume P显示Q`将删除子目标。）

第二个show将规则Q ⟹ P应用于第一个适用的子目标：现在是P ⟹ P（因为Q ⟹ P是第二个子目标），产生{{1}再次。

因此，我们仍有两个子目标P ⟹ Q和P ⟹ Q，而Q ⟹ P无法关闭目标。

在很多情况下，我们没有注意到qed的这种行为，因为像show这样的琐事子目标可以通过P ⟹ P来解决。

关于qed行为的几句话：如上所述，show中的元蕴涵与show不对应。相反，它对应于assume鲜为人知的兄弟assume。 presume允许您引入新的假设，但要求您在之后解除它们。例如，比较

presume

和

lemma "P 2 ⟹ P 0"
proof -
  presume "P 1" then show "P 0" sorry
next
  assume "P 2" then show "P 1" sorry
qed

讽刺Isar证明中的元蕴涵

2 个答案: