Question

给出从 u 到 v 的所有路径的MST查找，其中u！= v，遍历图形中每个边的次数。 例如，图中的边AC可以在从A到C或从A到B到达时被遍历，其中C可能位于从A到B的路径中。因此，AC被遍历了两次。 我们需要计算图中每个边的所有遍历。谁能帮我解决这个算法？

Answer 1

给出最小生成树 M = { V ， E }和边沿(i,j)，让 L = { V _L， E _L}和 R = { V _R， E _R}是通过删除边线{{1}而创建的两个子图（树） }，来自 M 。边缘(i,j)仅与路径(i,j)交叉，其中(u,v)在 L 中，而u在 R 中（或相反亦然）。由于 L 中的所有顶点都已连接到 R 中的所有顶点，并且从顶点v到顶点u的所有路径都是唯一的，因此边缘v越过的时间是| V _L | x | V _R |。 >

要查找每个边的一侧上的顶点数量，所需要做的就是从任意节点开始的一次深度优先遍历，返回(i,j)，它是{{1}的总和}（对于每个子节点）+1（对于当前节点）。因此，叶节点的nodeCount为1。

将父顶点从递归调用传递给子节点的邻接列表中删除，这样就不会对节点进行多次计数。

因此，如本子图中所示，如果我们从顶点 R 到达顶点 p ，

nodeCount

返回到 R 的nodeCount将是R | | p / \ / \ c1 c2。如果 c1 和 c2 都是叶节点，则返回的nodeCount将为3。

在此过程结束时，返回的每个1 + nodeCount(c1) + nodeCount(c2)值将是对应边的 one 侧的节点数。该边另一侧的节点数将由nodeCount给出，其中nodeCount是MST中的顶点数。通过该边缘的路径数为

N - nodeCount

下面是一些伪代码，希望可以使它们有所澄清：

正如我所说，对于初始调用，我们使用一个任意节点。不论使用哪一个都无所谓，因为所有答案都是相等的（每个边的一个侧的正确计数，尽管不一定是 same 侧）。初始调用隐式生成一个虚拟顶点作为第一个节点的父节点，因此最后返回的nodeCount * (N - nodeCount)等于 N ，即MST中的顶点数。

这是一个10个顶点的样本邻接矩阵，从顶点0开始时从函数输出：

CountNodes(A, r)
   // Given adjacency matrix A, returns the number of nodes 
   // reachable from node r (including r itself)
   nodeCount = 1   // include root node in count

   // rows/columns in A for visited nodes should be all 0
   // so that we don't count this node multiple times
   // update node r as visited before recursive call to CountNodes
   A[r,] = 0
   A[,r] = 0

   if the number of unvisited children of r is 0
      return nodeCount   // r is a leaf, nodeCount = 1
   end if

   for each  node c connected to r
      // get count of nodes in subtree rooted at c
      childCount = CountNodes(A, c)
      PRINT (r,c) = childCount   // display count for current edge 
      nodeCount = nodeCount + childCount   // update count to report to parent
   end for
   return nodeCount

end CountNodes

由于边缘nodeCount的{{1}}为A = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 (6,3) = 1 (8,2) = 1 (5,9) = 1 (8,5) = 2 (6,8) = 4 (7,6) = 6 (4,7) = 7 (1,4) = 8 (0,1) = 9 return = 10，因此通过边缘nodeCount的路径数为(6,8)。通过边缘4的路径数将为(6,8)

计算最小生成树中从顶点u到v的所有路径的边被访问的次数，其中u！= v

1 个答案: