通过归纳证明，每个高度为h的非空树都包含少于2 ^ n + 1个节点

Question

我陷入了问题的归纳过程。

问题：

将树的高度定义为树之间的最大边数 根和任何叶子。我们认为一棵空树的高度为-1，并且 由单个节点组成的树的高度为0。归纳证明每个高度为h的非空二叉树都包含 少于2个^{（h + 1）}节点。

So I started:

Base case: h = 0 (Since a non-empty tree consists of a single node 
or 
more, the first case would be an empty node)

= 2 ^{（0 + 1）} = 2 ^（1） = 2     当height为0时，树由单个节点组成，因此，是1个节点为     少于2个节点。     归纳步长= h小于或大于0     这就是我被困住的地方...我知道声明是正确的，因为     高度将始终小于节点数1，我只是     不知道如何代数证明。

谢谢。

Answer 1

假设您有一棵树，其高度为n + 1。

左子树和右子树的高度都受n限制。 通过归纳，每个子树都具有少于2 ^（n + 1）个节点，即最多2 ^（n + 1）-1个节点。

因为我们有两个子树，所以最多只有2 *（2 ^（n + 1）-1）= 2 ^（n + 2）-2。 为根添加一个，然后高度n + 1的树最多具有2 ^（n + 2）-1，根据需要小于2 ^（n + 2）。