通过感应完整二叉树中节点高度的证明

Question

我试图通过归纳证明以下内容：

sum(k*2^(H-k), k = 0 .. H) = N-H-1

这是算法类的问题。我以为我可以做我通常做的总结，这是假设它适用于某些P（m），然后增加P（m + 1）的总和，并通过向右侧添加附加值来向后工作左侧的求和产生。

但是，这个问题是不同的，因为用H + 1代替会改变求和中的每个项......所以我认为这种技术不会起作用。

这是一个家庭作业问题......所以我显然不希望有完整的解决方案。但是，我不确定在何处进行总结，所以我正在寻找其他方法来进行归纳。

Answer 1

假设树已满，您仍然可以通过归纳做一些传统的证明。只要写下如果它适用于某个高度H，那么你知道该高度的高度总和为N-H-1;然后尝试高度H+1。考虑：

• 旧树中所有节点的新总和是什么（即N-H-1成为什么）？
• 在完整树中使用新级别的节点添加了哪些高度？