我从冒泡排序算法中的数据结构书中得到了这个公式。
我知道我们是（n-1）*（n次），但为什么除以2？
任何人都可以向我解释一下或提供详细的证明。
谢谢
答案 0 :(得分：19)
从三角形开始...
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代表1 + 2 + 3 + 4。沿着一个维度将三角形切成两半......
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将较小的部分旋转180度，并将其粘贴在较大部分的顶部......
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关闭间隙以获得矩形。
乍一看，这只有在矩形底部长度均匀的情况下才有效 - 但如果它有一个奇数长度，你只需将中间一列切成两半 - 它仍可以半个单位宽度两次 - 如-tall（仍为整数区域）条带在矩形的一侧。
无论三角形的底边是什么，矩形的宽度为(base / 2)，高度为(base + 1)，为((base + 1) * base) / 2。
但是，我的base是您的n-1，因为冒泡排序一次比较一对项目，因此仅针对第一个循环迭代（n-1）个位置。
答案 1 :(得分：14)
(N-1) + (N-2) +...+ 2 + 1是N-1项的总和。现在重新排序项目，以便在第一个到达最后一个，然后是第二个，然后是第二个到最后一个，即(N-1) + 1 + (N-2) + 2 +..。现在订购商品的方式你可以看到这些商品中的每一对都等于N（N-1 + 1是N，N-2 + 2是N）。由于存在N-1个项目，因此存在（N-1）/ 2个这样的对。所以你要加N（N-1）/ 2次，所以总值为N*(N-1)/2。
答案 2 :(得分：8)
尝试从集合中生成数字对。第一个+最后一个;第二个+前一个。这意味着n-1 + 1; n-2 + 2.结果总是n。由于您要将两个数字相加，因此只有（n-1）/ 2对可以由（n-1）个数组成。
所以它就像（N-1）/ 2 * N.
答案 3 :(得分：7)
请参阅triangle numbers。
答案 4 :(得分：4)
我知道我们是（n-1）*（n次），但为什么除以2？
如果你使用天真的气泡，它只有(n - 1) * n。如果您发现以下情况，可以节省大笔费用：
每次比较和交换后，您遇到的最大元素将位于您所在的最后一个位置。
第一次传球后，最大的元素将位于最后位置;在k th 通过之后，k th 最大元素将位于k th 最后位置。
因此，您不必每次都对整个事物进行排序：您只需要第二次排序n - 2个元素，第三次排序n - 3个元素，依此类推。这意味着您必须执行的比较/交换总数为(n - 1) + (n - 2) + ...。这是一个 arithmetic series ，总次数的等式是（n - 1）* n / 2.
示例：如果列表的大小为N = 5，则执行4 + 3 + 2 + 1 = 10次交换 - 并注意10与4 * 5相同2。
答案 5 :(得分：2)
这是一个很常见的证据。证明这一点的一种方法是使用数学归纳法。这是一个链接：http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.mathinduction.html
答案 6 :(得分：1)
算术进展的总和
（A1 + AN）/ 2 * N =（1 +（N-1））/ 2 *（N-1）= N *（N-1）/ 2
答案 7 :(得分：1)
假设n = 2。然后我们左侧2-1 = 1，右侧2 * 1/2 = 1。
表示f（n）=（n-1）+（n-2）+（n-3）+ ... + 1
现在假设我们已经测试了n = k。然后我们必须测试n = k + 1。
在左侧我们有k +（k-1）+（k-2）+ ... + 1，所以它是f（k）+ k
在右侧，我们有（k + 1）* k / 2 =（k ^ 2 + k）/ 2 =（k ^ 2 + 2k - k）/ 2 = k +（k-1） k / 2 = k f（k）
所以这必须适用于每一个k，这就证明了这一点。
答案 8 :(得分：1)
这是一个归纳证明，考虑N条款，但N - 1也是如此：
对于N = 0，公式显然是正确的。
假设某些自然1 + 2 + 3 + ... + N = N(N + 1) / 2 N为真。
通过使用我们之前的假设，我们将证明1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N + 1)(N + 2) / 2也是正确的：
1 + 2 + 3 + ... + N + (N + 1) = (N(N + 1) / 2) + (N + 1)
= (N + 1)((N / 2) + 1)
= (N + 1)(N + 2) / 2。
因此公式适用于所有N。