将两个方格的总和表示为素数的最快算法是什么？

Question

我可以使用两个循环来检查小于p素数的两个整数的所有组合，但效率非常低。有没有更好的算法来解决这个问题？任何的想法？

p mod 4 = 1。

谢谢，

Answer 1

您可以尝试使用Hermite-Serret算法。

您还可以在此math.se页面上找到一个很好的算法列表：https://math.stackexchange.com/questions/5877/efficiently-finding-two-squares-which-sum-to-a-prime

特别参见Robin Chapman的回答：https://math.stackexchange.com/questions/5877/efficiently-finding-two-squares-which-sum-to-a-prime/5883#5883

Answer 2

您无需搜索所有组合。一个简单的天真实现的大致轮廓将是：

• 考虑[1..trunc（sqrt（p））]。
范围内的每个整数i
• 计算sqrt（p-i ^ 2）并检查它是否为整数。如果是这样，你就完成了。
• 如果没有继续下一个i。

这是否足以满足您的需求？对于相对较小的p，它可以正常工作，但对于密码学中使用的大型素数来说显然会很慢。

Answer 3

我建议你重读Fermat's 4n+1 Theorem。

如果软件工程师使用正确的工具来完成工作，那么您的解决方案就很简单。我的Mathematica功能：

P[p_] := Reduce[-p + x^2 + y^2 == 0, {x, y}, Integers]

示例：

找到前几个素数p的解，它们是1或2（mod 4）。

P /@ {2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61}