将素数表示为四个平方整数的总和

Question

给定素数p，找到四个整数，使得p等于那些整数的平方和。

1＆lt; p＆lt; 10 ^ 12

如果p的形式为8n + 1或8n + 5，那么p可以写成两个平方的和。这可以用O（sqrt（p）* log（sqrt（p））来解决。但是对于其他情况，即当p不能写成两个平方的总和时，效率非常低。所以，如果有人的话，它会很棒可以提供一些我可以阅读的资源材料来解决问题。

Answer 1

鉴于你的限制，我认为你可以做一个聪明的暴力。

首先，注意如果p = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2，则a，b，c，d中的每一个必须小于10 ^ 6。所以只需从0到sqrt（p）循环。考虑q = p - a ^ 2。很容易检查q是否可以使用Legendre's three-square theorem写成三个正方形的总和。一旦你发现q的值有效，a就固定了，你可以担心q。

以同样的方式处理q。循环从0到sqrt（q）的b，并考虑r = q - b ^ 2。 Fermat's two-square theorem告诉您如何检查r是否可以写成两个方格的总和。虽然此检查需要再次使用O（sqrt（r））时间，但实际上您应该能够快速找到有效的b值。

在此之后，找到适用于r的（c，d）对应该很简单。

由于用于查找a和b以及（c，d）的循环不是嵌套的，而是一个接一个地出现，因此复杂性应该足够低以适应您的问题。