Question

问题是找到正整数的最大集合S，使得S的元素的平方和等于给定的数字n。

例如：

4 =2²
  20 =4²+2²
  38 =5²+3²+2²
  300 =11²+8²+7²+6²+4²+3²+2²+1²。

我有一个在时间O(2^(sqrt n) * n)内运行的算法，但它太慢了（每个方块的子集）。

Answer 1

基于subset sum的规范动态程序，有一个O(n^1.5) - 时间算法。这是重复：

C(m, k) is the size of the largest subset of 1..k whose squares sum to m
C(m, k), m < 0 = -infinity (infeasible)
C(0, k) = 0
C(m, 0), m > 0 = -infinity (infeasible)
C(m, k), m > 0, k > 0 = max(C(m, k-1), C(m - k^2, k-1) + 1)

为C(m, k)中的所有m和0..n中的所有k计算0..floor(n^0.5)。返回C(n, floor(n^0.5))作为目标值。要恢复该集，请追溯argmaxes。

Answer 2

我只是想知道这个问题是否会减少到NP？看起来你有小于n的整数（正方形）列表（可以在O(sqrt(n))中生成），并且你正在寻找1 to sqrt(n)大小的子集和（检查所有可能性））。如果是这样，它应该可以解决背包动态编程算法（但这是非常天真的算法，我认为可以改进）在O(n^2) - sqrt（n）的问题中检查时间sqrt（n）背包项目计数次数n背包重量。

编辑：我认为在填充动态编程数组后，你可以在O(n*sqrt(n))中完成智能回溯。

Answer 3

您可以使用重复：

T(0, m) = 0
T(n, m) = -Infinity (if n<0 or m<0)
T(n, m) = max(T(n-m*m, m-1)+1, T(n, m-1))

或者，在Python代码中：

from functools import lru_cache

@lru_cache(100000)
def T(n, m):
    if n<0 or m<0: return (-1000000, 0)
    if n==0: return (0, 0)
    return max((T(n-m*m, m-1)[0]+1, m), T(n, m-1)) 

def squares(n):
    s = int(n**0.5)
    while n>0 and s>0:
        _, factor = T(n, s)
        yield factor**2
        n -= factor**2
        s = factor-1

for x in (4, 20, 38, 300):
    result = list(squares(x))
    print(sum(result), '= sum', result)

您给出的示例（300）可以用8个因子编写：

300 =11²+8²+7²+6²+4²+3²+2²+1²

其他结果：

4 = sum [4]
20 = sum [16, 4]
38 = sum [25, 9, 4]
300 = sum [121, 64, 49, 36, 16, 9, 4, 1]

将自然数表示为不同方块的总和

3 个答案: