Question

我正在斯坦福大学上一门在线算法课程，问题之一如下：

将路径的瓶颈定义为路径之一的最大长度边缘。两个顶点s和t之间的最小瓶颈路径为瓶颈不大于任何其他s-t路径的路径。现在假设该图是无向的。给出线性时间（O（m））计算两个给定之间的最小瓶颈路径的算法顶点。

使用改良的Dijkstra算法解决此问题，该算法在不满足要求的O（mlog（n））中运行。 Wikipedia声称存在

存在一种线性时间算法，用于在无向图，即不使用最大生成树。的该算法的主要思想是应用线性时间路径查找算法来计算图中的边缘权重中位数，然后根据删除所有较小的边缘或收缩所有较大的边缘路径是否存在，并在结果中递归较小的图。

有几个问题。该算法主要是挥舞着手，我不是在寻找最宽的路径，而是相反。

This的文章多于Wikipedia，但也没有涉及到过多的细节，尤其是在缩小边缘方面。

我已经写出了以下伪代码：

1: MBP(G, s, t)
2:  if |E| == 1
3:    return the only edge
4:  else
5:    x = median of all edge weights
6:    E' = E - (v, w) where weight(v, w) < x
7:    construct G'(V, E')
8:    exists = is there a path from s to t in G'

9:    if (exists == FALSE)
10:      compute all the connected components Cᵢ of G'
11:      reinsert the edges deleted into G'

12:      G* = G'
13:      for each Cᵢ
14:        G* = SHRINK(G*, Cᵢ)

15:  return MBP(G', s, t)

16: SHRINK(G, C)
17:  leader = leader vertex of C
18:  V* = {V(G) - C} ∪ {leader}

19:  E* = {}
20:  for each edge (v, w) ∈ E(G)
21:    if v, w ∈ V*
22:      E* = E* ∪ {(v, w, weight(v, w))}
23:    else if v ∈ C, w ∈ V*
24:      E* = E* ∪ {(leader, w, max(weight(v, w)))}

25:  return G*(V*, E*)

我不明白的几件事：

第6行：删除权重高于中位数或更低的边有什么影响？
第20行：有3种类型的边，即在连接的组件外都具有两个顶点，在连接的组件中都具有两个顶点，在连接的组件中具有一个顶点的边缘以及另一种。第一种保留其边缘权重，第二种变为自循环，应删除（？）。第三种类型的边缘重量应该是多少？

Answer 1

在这里OP。在my blog上可以找到详细的解决方案，但是伪代码如下：

1: CRITICAL-EDGE(G, s, t)
2:   if |E(G)| == 1
3:     return the only edge
4:   else
5:     x = median of all edge weights
6:     X = E - (v, w) s.t. weight(v, w) > x
7:     G' = G(V, X)
8:     exists = is there a path from s to t in G'

9:     if (exists == FALSE)
10:      C = {C₁, C₂, ..., Cₖ} s.t. Cᵢ is a connected component of G
11:      G' = G(V, E - X)

12:      for i = 1 to |C|
13:        G' = SHRINK(G', C, i)
14:    else if X == E // no edges were deleted
15:      X = {(v, w)} s.t. weight(v, w) = x
16:      G' = G(V, X)

17:  return CRITICAL-EDGE(G', s, t)

18: SHRINK(G, C, i)
19:   leaderᵢ = leader vertex of C[i]
20:   V* = {V(G) - C[i]} ∪ {leaderᵢ}

21:   E* = {}
22:   for each (v, w) ∈ E(G)
23:     if v ∈ C[i], w ∈ C[j]
24:       E* = E* ∪ {(leaderᵢ, leaderⱼ, min(weight(u, w)))} ∀ u ∈ C[i]
25:     else if v, w ∉ C[i]
          E * = E* ∪ {(v, w, weight(v, w))}

26:   return G*(V*, E*)

查找最小瓶颈路径的线性时间算法

1 个答案: