Question

我知道Dijkstra的算法不能用于负负边缘，因为它可能会弄乱云中已经存在的顶点的距离。

但是，如果有向图不包含循环即有向无环图（DAG），该怎么办？我认为Dijkstra的算法即使在负加权边缘也可以使用，以找到最小的成本路径。

Answer 1

否，当负重时不能使用。原因是它是一个贪婪算法。一旦选择了最小距离节点，就不会重新考虑该选择。负权重将使算法后面的其他一些节点变低。

这是一个简单的反例：

start  -- 1 ----------> end
    |                    ^
    \ -- 2 --> x -- -3 --/

在这种情况下，该算法为您提供权重为1的直接路径，而不是通过权重为-1的节点x的较短路径。

Answer 2

通常，Dijkstra的算法不能用于绘制具有负边长的图形。但是，可能会有特殊情况。如果图形中的所有负边都连接到起点（如果在无向图形中翻转起点和终点，则该终点也适用于终点）。 Dijkstra的算法还将提供最短的路径。

这样做的原因是Dijkstra的算法总是选择距起始节点距离最小的边缘。核心部分是：在非负权重的情况下，在路径中添加更多边，则该路径只会增加（至少不会减少）。但是，如果引入负长度，则在路径中添加更多的边缘可能会导致路径长度减小。

在下面的示例中，如果使用Dijkstra的算法从s到t，则将无法正常工作，因为edge（v，t）会缩短路径的长度。

但是，如果我们使用Dijkstra的算法从t开始到s，它将选择边（v，t）而不是（s，t），然后再选择（s，v）。之所以会起作用，是因为只有入射到起始节点的边为负才不会损害全局最短距离。在后面的迭代中，将仅拾取非负边缘，并且添加更多的边缘肯定会增加长度。

通常来说，可以肯定地说Dijkstra的最短算法不适用于边长为负的图形。

Answer 3

即使通过找到最低边缘权重（它将是具有负边缘的图形中的最低负数）并添加一个数字（即最低边缘的绝对值）来使负边缘为非负值，也无法使用该算法图中所有边缘的边缘权重

我很好奇使边缘为非负数是否行得通。但这不会和另外this个stackoverflow答案消除了我的怀疑。