Question

如果唯一的负边缘成本来自初始节点怎么办？该算法仍然有用吗？

我觉得是的，因为我无法想到反例，但我无法证明这一点。有反例吗？

对于Dijkstra来说，负边是一个问题，因为如果有一条边可以在以后选择，而在很大程度上是负加权，则不能保证你选择的边产生最短路径。但是如果唯一的负边缘从初始节点出来，我就没有看到问题。

我不是在寻找算法。我正在寻找对Dijkstra的一些见解。

我正在谈论有向图，如果这会产生影响。

Answer 1

具有负成本优势的问题在于，您可以随心所欲地来回走动。

如果您施加的规则不允许多次使用边缘，则仍然存在问题。 Dijkstra的算法涉及将节点标记为“已访问”，当它与初始节点的距离被认为是一劳永逸时。这发生在检查所有边缘之前;已找到从初始节点到节点X的最短路径，来自初始节点的所有其他路径已经比此更长，以后发现的任何路径都不能使这些路径更短。但是如果某处存在负成本边缘，那么后来的发现可以使路径变短，因此可能存在Dijkstra不会发现的较短路径。

如果只有连接到初始节点的边缘可能有负成本，那么你仍然有问题，因为最短路径可能涉及重新访问初始节点以利用负成本，这是Dijkstra无法做到的。

如果你强加另一个规则，可能不会多次访问某个节点，那么Dijkstra的算法就可以运行。请注意，在Dijkstra算法中，初始节点的初始距离为零。如果你给它一些其他的初始距离，算法仍然会找到最短的路径 - 但是所有的距离都会偏离相同的量。（如果你想要最后的实际距离，你必须减去你输入的值。）

所以拿你的图表，称之为 A ，找到连接到初始节点的任何边缘的最小成本，称之为k，在这种情况下为负值）。
通过从连接到初始节点的每条边的成本中减去k得到一个新图 B 。请注意，所有这些成本现在都是非负的。所以Dijkstra在 B 上工作。另请注意， B 中的最短路径也是 A 中的最短路径。
将 B 的初始节点分配距离k，然后运行Dijkstra（这将提供与初始距离为零的运行相同的路径）。将此与在 A 上天真地运行Dijkstra进行比较：一旦离开初始节点，两个图中的所有内容都相同。距离是相同的，决定是相同的，两者将产生相同的路径。并且在 A 的情况下，distace将是正确的，因为它从零开始。

Answer 2

反示例：

图G =（V，E），顶点V = {A，B}，边E = {（A，B），（B，A）}和权函数w（A，B）= -2 ，w（B，A）= +1。

负重周期为负，因此最小距离未定义（即使使用A作为初始节点）。

Answer 3

Dijkstra算法不能为具有负边权重的图形生成正确答案（即使图形没有任何负权重周期）。对于例如它计算了（A，C）之间不正确的最短路径值，用于跟随源顶点A的图，

A -> B : 6
A -> C : 5
B -> D : 2
B -> E : 1
D -> E : -5
E -> C : -2

Dijkstra算法在有向图上具有负边

3 个答案: