当必须始终包含一个或多个边时，一个完整的无向图中哈密顿回路的总数是多少？

Question

对于一个完整的无向图G，其中的顶点由TransformedXML.value('(/DecisionData/Customer/Applicants/Applicant[@PersonType="Applicant"]/CurrentAddress/ZipCode)[1]', 'nvarchar(100)') AS zip 进行索引。我知道G中的哈密顿回路总数为[n] = {1,2,3,...,n} where n >= 4

1. 如果我们必须遍历边(n-1)! / 2，那么有多少个哈密顿回路？
2. 如果有多个连续边，例如{1,2}是否必须遍历？
3. 如果有多个不连续的边缘，例如{1,2} {2,3}是否必须遍历？

直觉上，对于第1部分，答案似乎是{1,2} {3,4}，但我不确定。对于其他部分，我完全感到困惑。

非常感谢您的帮助！

Answer 1

1）2的子情况

2）考虑G' = G - {v1, v2, v3...vk}（顶点在出现时需要使用的连续边E）。对于G'中的每个哈密顿回路C，您可以将边的序列添加到C的任何部分，得到C[0..i] + {C[i], v1} + E + {vk, C[i]} + C[i..n]。

对于图形G'，there are (n - 1 - k)! / 2哈密顿回路。对于每个电路，您都可以像上面讨论的那样在任意两对连续边之间扩展它。这是| C |的方法。因此答案将是(n - 1 - k)! / 2 * |C| = (n - 1 - k)! / 2 * (n - k)。

您仍然需要证明我们正在以这种方式对所有这些人进行计数，并且我们没有在计算重复项。

3）的泛化为2。计算E中没有提及任何顶点的汉密尔顿电路，然后开始将必须遍历的边沿乘以1。