最近，我正在参加工作面试，其中包括编程任务。作业之一是：
白色一个函数，它将找到所有整数值对x，y，这些整数值对针对给定整数n求解方程：
x^2 - 4y^2 = n
我的方法是：
我重写了y的等式：y = sqrt(x^2 - n) / 2
从x=sqrt(n)到x=n的for循环
对于x是整数，我为每个y计算了y的值并进行了检查。
此解决方案给出了正确的答案，但是，对于大n，该算法不符合性能标准。
在作业中还给出了提示，x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)，但我不知道如何使用该提示来解决该问题。
只是出于好奇（现在任务已结束），有什么想法如何以最佳方式解决此问题？
答案 0 :(得分：7)
提示x^2 - 4y^2 = (x - 2y)(x + 2y)表示n必须被(x - 2y)和(x + 2y)整除。因此，例如n的整数分解产生了相对较小的整数集，可以搜索它们是否可以生成(x - 2y)和(x + 2y)形式的数字。
考虑正整数x和y就足够了，因为由于方程中的平方，对于每个x，-x也是一个解，对于{ {1}}。因此，您发现的每一对数字实际上都会为您提供四种不同的解决方案。
您可能还想查看Diophantine equations的理论，这是此类问题背后的通用数学理论。您的特殊情况位于MathWorld article中。
答案 1 :(得分：1)
在您的方法中，您最终完成了从sqrt(n)到n的循环。这意味着您的解决方案的时间复杂度为O(n)。
如果我们对否定解感兴趣，我们可以给定一个非负对(x, y)来创建(-x, y)，(x, -y)和(-x, -y)这三个解（这些解是x或y可以为0，因此不必区分。因此，我们可以将自己限制为非负x和y。我还假设n > 0。
现在假设a = x - 2y和b = x + 2y。使用a <= b是因为y >= 0。
然后a * b = n和b = n / a。
我们现在可以用a遍历1 <= a <= sqrt(n)的所有值，并检查b = n / a是否为整数。 （如果a大于sqrt(n)，则b = n / a会小于a。）
对于a的所有值，其中b是整数，我们计算x = (a + b) / 2和y = (b - a) / 4。如果x和y是整数，我们有一个解决方案。
此算法的时间复杂度为O(sqrt(n))。