求解T（n）= 4T（n / 2）+n²

Question

我正在尝试使用替换方法解决重现问题。递归关系是：

  

T（n）= 4T（n / 2）+ n ²

我的猜测是T（n）是Θ（nlogn）（我确信它是因为主定理），并且为了找到上限，我使用归纳法。我试图证明这一点 T（n）＆lt; = cn ² logn，但这不起作用。

我得到T（n）＆lt; = cn ² logn + n ² 。然后我试图表明，如果T（n）＆lt; = c ₁ n ² logn-c ₂ n ^{2 < / sup>，那么它也是O（n 2 logn），但这也没有用，我得到T（n）＆lt; = c ₁ n < SUP> 2} 的log（n / 2）-c <子> 2 名词 ² + N ² `。

如何解决此问题？

Answer 1

T(n) = 4T(n/2) + n2
     = n2 + 4[4T(n/4) + n²/4]
     = 2n2 + 16T(n/4) 
     = ... 
     = k⋅n2 + 4kT(n/2k) 
     = ...

当2k到达n时，此过程停止 ⇒k = log2n
⇒T(n) = O(n2logn)

Answer 2

您可以用非递归形式重写等式

你的递归方程非常简单：每次展开T（n / 2）时，只会出现一个新术语。因此，在非递归形式中，您将得到一系列二次项。你只需要表明A（n）是log(n)（我把它留给你作为一个简单的练习）。