Question

我试图通过使用替换方法来解决重现问题。递归关系是：

T(n) = 4T(n/2) + n^3 + n*(log(n))^2

我也尝试用master方法解决这个问题。

Answer 1

您可以使用的第一次补救是n = 2^k。你的复发成为：

T（2 ^ k）= 4T（2 ^（k-1））+ 2 ^（3k）+ 2 ^ k * log（2 ^ k）^ 2

或

T（2 ^ k）= 4T（2 ^（k-1））+ 2 ^（3k）+ c * k ^ 2 * 2 ^ k

其中c = (log 2)^2。

在另一次替换之后S(k) = T(2^k)除以4^k我们得到

S（k）/ 4 ^ k = S（k-1）/ 4 ^（k-1）+ 2 ^ k + c * k ^ 2/2 ^ k

我们的最终判决是R(k) = S(k) / 4^k，新的复发是

R（k）= R（k-1）+ 2 ^ k + c * k ^ 2/2 ^ k

通过伸缩（即将这些等式求和为k = 2,3，...，n）得到

R（n）= R（1）+ sum（2 ^ k）+ c * sum（k ^ 2/2 ^ k）

（其中两个总和从k = 1到k = n - 1）。

最后，

R（n）= R（1）+ 2 ^ n - 1 + c *（6 - （n ^ 2 + 2n + 3）/ 2 ^（n-1））。

从最后一个等式可以很容易地找到

T(2^k)。对于T(n)的其他值（当n不是2的幂）时，如果没有其他假设（例如，连续性），则没有足够的数据。

Answer 2

从时间复杂度的角度来看，T(n) = 4T(n/2) + n^3 + n*(log(n))^2与T(n) = 4T(n/2) + n^3相同。

现在使用master theorem，您有a=4，b=2，因此c = logb(a) = 2。由于n^c增长速度低于f(n) = n^3，因此您会陷入第三种情况，时间复杂度为O(n^3)