为什么在图中找到最长的路径是NP难的

Question

此link提到：

  

加权图中两个给定顶点s和t之间的最长路径   G与从G通过以下公式得出的图-G中的最短路径相同   改变每一个分量到它的否定。因此，如果路径最短   可以在-G中找到，然后最长的路径也可以在G中找到。

那么，如果这种转换可以将最长路径简化为最短路径问题，为什么为什么要找到最长路径呢？

转换后，我们遇到以下情况：

• -G具有负周期，在这种情况下，无法找到-G中的最短路径
• -G没有负周期，在这种情况下，Floy-Warshall或Bellman-Ford算法可以在多项式时间内找到-G中的最短路径

问题：

1. 说没有负周期是否正确，找到最长路径的问题不是NP难的？

2. 在存在负周期的情况下是否正确地说，节点之间仍然有最长的simple path，难于找到NP？

3. 如果是这样，那么说在图中找到最长的简单路径是否具有NP难度是否更准确？

4. 如果是这样，是否由于-G变换而说在图中找到最短的简单路径也是NP困难的？

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修改

此链接更详细地解释了关于最长路径问题的困惑： https://hackernoon.com/shortest-and-longest-path-algorithms-job-interview-cheatsheet-2adc8e18869

Answer 1

这里的困惑是最长路径问题通常要求最长的简单路径，即最长的路径，没有重复的顶点。因此，可以将其简化为哈密顿路径问题，该问题被称为NP难题。

另一方面，

Bellman-Ford和类似的算法计算图形中的最短路径（注意：没有简单），即可以重复顶点。

您的四个问题：

1. 不。如果-G中存在负循环，则G中根本没有最长的路径，因为您可以永远继续绕着循环行走。最长的simple路径可能仍然存在，但是无论是否存在负循环，问题都可以归结为哈密顿路径，因此仍然是NP问题。
2. 的确！ （如果图形是无向的。）
3. 是
4. 是

Answer 2

• 首先，最长路径问题通常是 NP-Hard（实际上是 NP-Complete）问题，甚至 当没有负边缘时。我试图从 基础知识，here；也为了证明 NP 完全，你可能想 检查这个one。
• 其次，对于各种类别的Graph，科学家们提出了 用多项式时间解决这个问题。 DAG 和树是两个这样的 种类。
• 第三，对于 DAG，而一种选择是找到最短距离 在转换图中，-G（这在 Sedgewick 书中提到， 第 4 版），还有另一种替代方法，参见 here。两个都 在 theta(E+V) 时间运行。
• 最后，对于你的问题 1 到 3 的答案，我会坚持 Berthur's answer。但是对于您的问题 4，请注意我们不做 像 -G 这样的变换，对于任意图 G。如果我们这样做，那么 它是一个 DAG。事实上，我们经常通过引用来证明最长路径问题作为NPC 哈密​​顿路径 - 与权重无关，更不用说负数了 权重。