与树相关的问题的时间复杂度

Question

我正在努力弄清以下问题的时间复杂性（这不是家庭作业，只是我想到并无法理解的事情）。

假设您有一棵任意树。该算法使得对于树中的每个节点，您必须运行一些O（1）操作，该操作的次数是该节点的叶子后代数量的多少。因此，在下面的示例树中，我们将为节点A运行2个操作，为根节点R运行6个操作。

比方说，您有n个节点，树的深度为d，并且可以使用任何其他必要的表示法。什么复杂？

我对此不太了解。当然，它小于O（n ^ 2），但是我该如何处理呢？谢谢！

编辑：节点的叶后代是没有任何子代的后代。后代是一个节点，可以通过从父级到子级的重复操作来访问（无论是内部节点还是叶节点都无关紧要）

Answer 1

它是Ө（n ^ 2）。显然，正如您所指出的，它位于 O（n ^ 2）中，因为每个节点的后代叶子必须少于 n 个后代。

在一棵这样的树上

     A
    /  \
   B    C
       / \
      D   E
         / \
        F   G
             ...

最顶部的 n / 4 个内部节点至少有 n / 4 个后代叶子，因此操作总数至少为 n ^ 2 / 16 ，位于Ω（n ^ 2）中。

如果深度限制为 d ，则每个节点最多可以具有 d 个祖先，因此您得到 O（n * min（d，n ）），但由于类似的构造，它也很紧。

Answer 2

我认为它将是O(2(N - Leaf) + Leaf)，其中Leaf是树的后代数量。需要O(2(N - Leaf))遍历树以找到叶子后代，并且需要对每个叶子后代执行O(1)操作。