Question

有多种形式的查询

Q（n，m）=（nC1 * mC1）+（nC2 * mC2）+（nC3 * mC3）...（nCk * mCk）其中 k = min（n，m）

如何在O（1）时间复杂度中找到 Q（n，m）的值。

我尝试预先计算ncr [N] [N]矩阵和dp [N] [N] [N]，其中dp[n][m][min(n,m)] = Q(n,m).

此预计算需要O（N ^ 3）时间，现在可以O（1）时间回答查询。但是我正在寻找一种方法，其中预计算不应花费更多的O（N ^ 2）时间。

Answer 1

从C（n，0）* C（m，0）开始的解决方案似乎很简单

Q0(n,m) = C(n+m, m)

所以您的配方只需减去1

Q(n,m) = C(n+m, m) - 1

示例：n = 9，m = 5

帕斯卡三角形第9和第5行的点积为

1   9     36    84    126   126  84  36  9  1
1   5     10    10    5     1
1 + 45 +  360 + 840 + 630 + 126                = 2002    = C(14,5)

也许可以用从Q（n，1）开始的数学归纳法来证明，但是表达式相当长。