Question

所以，我需要找到T（n），然后找到下面的代码的Big-O（紧密上限）：

int sum = 0;
for(int i = 1; i < n; i *= 2) {
    for(int j = n; j > 0; j /= 2) {
        for(int k = j; k < n; k += 2) {
            sum += i + j * k;
        }
    }
}

现在，根据我为循环计算的结果，第一个循环运行了log（n）次，第二个循环运行了（log（n）* log（n））次第三个循环是引起混乱的循环，因为我相信它运行了（n-j）/ 2次。我的问题是我是否可以假设它为n / 2次，因为我认为这样做不会有一个严格的上限。还是我缺少其他方法？

Answer 1

这是一个非常有趣的问题。让我们给n一个实数，然后看看它是怎么回事。说n=100。如果我们只看两个内部循环

j        k
100      None
50       50, 52, ..., 98
25       25, 27, ..., 99
12       12, 14, ..., 98
6        6, 8, ..., 98
3        3, 5, ..., 99
1        1, 3, ..., 99

如您所见，第三个循环的复杂度实际上是O(n)。特别是当n非常大时，它将接近Θ(n)

Answer 2

for(int i = 1; i < n; i *= 2) // (1)
    for(int j = n; j > 0; j /= 2) // (2)
        for(int k = j; k < n; k += 2) // (3)

对于（3）的第一次迭代（其中k = j = n），将不会发生迭代。将j除以2后，第三个循环将运行（n / 2）/ 2或n / 4次。在（2）的第三次迭代之后，（3）将运行n / 4/2或n / 8次。我们可以将运行时间总结如下：

n/4 + n/8 + n/16 + ... + n/2^k

这也可以写成：

n * (1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + 1/2^k)

渐近在O(n)中。

解决包含“变量”的T（n）时间复杂度

2 个答案: