Big-O表示法和渐近法

时间:2011-02-26 21:58:13

标签: algorithm big-o analysis notation

       d    
p(n) = Σ ai n^i 
      i=0

其中ad> 0是n中的度数d多项式,并且令k是常数。使用渐近符号的定义来证明以下属性。

a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)

Omega,theta,small o和small omega属性还有4个以上的对应物,但如果我能知道如何开始,我可以自己想出其他的。

2 个答案:

答案 0 :(得分:4)

这很简单。请查看此处的Big O Notation正式定义:http://en.wikipedia.org/wiki/Big_o_notation#Formal_definition,尤其是本节末尾的公式limsup。你要证明的是,当n变为(正)无穷大时,p(n)/ n ^ k的极限是一个实数。如果k> d,限制为零。如果k = d,则限制为a_d。为什么?因为它是n ^ k上的简单多项式(d阶),也是多项式(k阶)。看看计算多项式的极限。

答案 1 :(得分:0)

a) if k >= d, then p(n) = O(n^k)

如果这是真的,则存在N,A和B,使得:

p(n) <= A + B*n^k

表示所有n&gt; = N

这样的N,A和B存在,例如:

     d    
 B = Σ ai n^i 
    i=0


 A = 1
 N = 1

如果您认为足够有洞察力,或者通过归纳证明N,A和B的选择确实使该陈述有效,您可以将其留在那里。