Question

我试图推导确定性线性搜索算法的平均案例运行时间。该算法按照A [1]，A [2]，A [3] ...... A [n]的顺序搜索未排序数组A中的元素x。它在找到元素x时停止或继续直到它到达数组的末尾。我在wikipedia上搜索，给出的答案是（n + 1）/（k + 1），其中k是数组中x的次数。我以另一种方式接近并得到了不同的答案。任何人都可以给我正确的证据，也让我知道我的方法有什么问题吗？

E(T)= 1*P(1) + 2*P(2) + 3*P(3) ....+ n*P(n) where P(i) is the probability that 
                   the algorithm runs for 'i' time (i.e. compares 'i' elements).
P(i)= (n-i)C(k-1) * (n-k)! / n! 
Here, (n-i)C(k-1) is (n-i) Choose (k-1). As the algorithm has reached the ith 
step, the rest of k-1 x's must be in the last n-i elements. Hence (n-i)C(k-i).
(n-k)! is the total number of ways of arranging the rest non x numbers, and n! 
is the total number of ways of arranging the n elements in the array.

我在简化时没有得到（n + 1）/（k + 1）。

Answer 1

您忘记了k x份P(i)副本的排列。 P(i) = (n-i)C(k-1) * k! * (n-k)! / n! = (n-i)C(k-1) / nCk. ^^的正确定义是

In[1]:= FullSimplify[Sum[i Binomial[n-i, k-1]/Binomial[n, k], {i, 1, n}], 0 <= k <= n]

        1 + n
Out[1]= -----
        1 + k

我会把事情交给Mathematica：

{{1}}

详细说明我的评论：假设所有元素都是不同的，让X为匹配集，让Y为不匹配集。假设，| X | = k和| Y | = n-k。预期的读取次数等于读取e的概率的元素e之和。

给定一组元素S，S中的每个元素都以概率1 / | S |出现在所有其他元素之前。

当且仅当它出现在X的每个其他元素之前时，才读取X中的元素x，即概率为1 / k。 X中元素的总贡献是| X | （1 / k）= 1。

当且仅当它出现在X的每个元素之前时，才读取Y中的元素y，即概率1 /（k + 1）。 Y中元素的总贡献是| Y | （1 /（k + 1））=（n-k）/（k + 1）。

我们有1 +（n-k）/（k + 1）=（n + 1）/（k + 1）。

Answer 2

以下是使用Cormen术语的解决方案：让S成为其他n-k元素的集合如果遇到Xi=1'元素，让指标随机变量i 我们执行过程中的S集 Pr{Xi=1}=1/(k+1)因此E[Xi]=1/(k+1) 如果我们遇到在执行过程中搜索的任何Y=1元素，请指示随机变量k。
Pr{Y=1}=1因此E[Y]=1 让随机变量X=Y+X1+X2+...X(n-k)为我们的元素之和在我们的执行过程中遇到。
E[X]=E[Y+X1+X2+...X(n-k)]=E[Y]+E[X1]+E[X2]+...E[X(n-k)]=1+(n-k)/(k+1)=(n+1)/(k+1)。

线性搜索算法的平均案例运行时间

2 个答案: