如何简化O（2 ^（logN））到O（N）

Question

在破解编码访谈中，有一个例子，其中对二进制搜索树中的节点进行计数的递归算法的运行时为O（2 ^（logN））。这本书解释了我们如何简化以获得O（N）......

2^p = Q 
logQ = P 
Let P = 2^(logN).

但是当他们说Let P = 2 ^（logN）时，我迷失了。我不明白我们怎么知道将这两者相等，我也不明白这一步......（虽然他们告诉我他们是按照log base 2的定义来做的）

logP = logN 
P = N 
2^(logN) = N

因此代码的运行时间为O（N）

Answer 1

^{假设logN为log ₂ N}

这一行：

Let P = 2^(logN).

假设P等于2^(logN)。您还不知道N，您只需定义P和N之间的关系。

稍后，您可以将log函数应用于等式的两边。由于log(2^(logN))为logN，因此下一步是：

logP = logN

显然，当logP = logN时，那么：

P = N

以前你假设P = 2^(logN)，然后：

2^(logN) = N

此外，根据2^logN = N函数的定义，所有这些都可以简化为log。

Answer 2

简短的回答是，原始问题可能隐含地假设对数应该在基数2中，因此2 ^（log_2（N））只是N，通过定义log_2（x）作为反函数2 ^ y。

然而，如果对数是针对不同的基数，那么更仔细地检查这一点很有意思。标准结果允许我们将对数写入基数b，如下所示：

其中ln(x)是自然对数（使用基数e）。同样，可以按如下方式重写2^x：

然后我们可以按如下方式重写原始的order-expression：

可以简化为：

因此，如果我们的对数的基数b是2，那么这显然只是N。但是，如果基数不同，那么我们会将N提升到一个权力。例如，如果b=10我们将N提升到0.301的幂，这肯定是一个比O(N)更缓慢增加的函数。

我们可以使用以下Python脚本直接检查：

import numpy
import matplotlib.pyplot as plt

N = numpy.arange(1, 100)

plt.figure()
plt.plot(N, 2**(numpy.log2(N)))
plt.xlabel('N')
plt.ylabel(r'$2^{\log_2 N}$')

plt.figure()
plt.plot(N, 2**(numpy.log10(N)))
plt.xlabel('N')
plt.ylabel(r'$2^{\log_{10} N}$')

plt.show()

当我们假设对数是基于2时产生的图：

与对数基数为10时的图形非常不同：

Answer 3

对数的定义是“为了得到这个值，需要提高基数的功率”，所以如果对数的基数是2，那么将2提高到该功率会使我们达到原始值。

示例：N是256.如果我们得到它的基数为2的对数，我们得到8.如果我们将2加到8的幂，我们得到256.所以它是线性的，我们可以使它只是N. / p>

如果日志位于不同的基数中，例如10，那么转换只需要将指数除以常量，将更准确的表单转换为N = 2^(log N / log 2)，可以将其更改为N / 2^(1 / log 2) = 2^log N }。这里左边N的除法器是一个常数，所以我们在讨论复杂性时可以忘记它，然后再来N = 2^log N。

您也可以手动测试。 256的Log2为8. 128的Log2为7. 8/7约为1.14。 256的Log10是2.4。 128的Log10是2.1。 2.4 / 2.1约为1.14。所以基数并不重要，你得到的价值不一样，但它是线性的。所以在数学上N不等于2 ^ Log10 N，但在复杂性方面它确实如此。