难以渐近（递归）函数（算法分析）

Question

我被困在这一个，我不知道如何解决它，无论我尝试什么，我只是找不到一种方法来玩这个功能，所以我可以用一种方式来表示它，这将允许我找到ag（n），使g（n）为T（n）∈Θ（g（n））

我遇到问题的功能是：

$ T(n)=4n^4T(\sqrt n) +(n^6lgn+3lg^7n)(2n^2lgn+lg^3n) $

另外，如果可以 - 请你检查我是否在正确的道路上：

$ T(n)=T(n-1)+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} $

要解决这个问题，我尝试使用：$ T(n)-T(n-1)=\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} $ iff $ (T(n)-T(n-1))+(T(n-1)-T(n-2))+\ldots+(T(2)-T(1))=\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+...+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n-1\right)^2}+.... $ iff $ (T(n)-T(n-1))+(T(n-1)-T(n-2))+\ldots+(T(2)-T(1))=T(n)=T(1)+\sum_{k=2}^n\frac{1}{n}+\sum_{k=2}^n\frac{1}{n^2} $然后使用谐波系列公式。但是我不知道如何继续并完成它并找到解决它的渐近边界

我希望第二次我走在正确的道路上。但是我根本不知道如何解决第一个问题。如果我犯了任何错误，请告诉我正确的方法，这样我可以改善我的错误。

非常感谢你的帮助

抱歉由于某种原因，数学在这里没有正确显示

Answer 1

继续评论：

首先解决（2），因为它更直接。

您的扩展尝试是正确的。写得略有不同：

• A ，谐波系列 - 渐近等于自然对数：

  

  γ = 0.57721...是Euler-Mascheroni constant。

• B ，倒数平方和 - 无限和是着名的Basel problem：

  

  哪个是1.6449...。因此，因为 B 单调增加，所以它总是O(1)。

  

（2）的总体复杂性只是Θ(log n)。

（1）稍微繁琐一点。

• Little-o 表示法：严格低复杂度等级，即：

  

• 假设一组N函数{F_i}按复杂度的递减顺序排序，即F2 = o(F1)等。采用它们的线性组合：

  

  因此，不同函数的总和渐近等于增长率最高的函数。

• 要对两个括号的扩展中的术语进行排序，请注意

  

  通过应用L'Hopital's rule来证明。所以唯一渐近重要的术语是n^6 log n * 2n^2 log n = 2n^8 log^2 n。

• 如前所述展开求和，请注意i）因子4n^4累积，ii）m - 扩展的参数为n^(1/(2^m))（重复平方根） ）。

  m - 扩展所添加的新术语因此（假设您知道如何执行此操作，因为您可以对（2）执行相同的操作）：< / p>

  

  相当令人惊讶的是，每个添加的术语都与第一个术语完全相同。

• 假设递归扩展的停止条件为n < 2（当然向下舍入到T(1)）：

  

  由于每个添加的术语t_m始终相同，只需乘以最大扩展数：

  

功能（1）是