这个递归关系可以使用主定理吗？

Question

我解决了我的作业问题，我使用了递归树。

但是解决方案说这种递归关系可以通过主定理来解决！

T（N）= 49T（N / 25）+ n ^（3/2）log（n）

我解决了n ^（3/2）log ^ 2（n）

但是解决方案说n ^（3/2）log（n）

我不知道为什么这种情况可以使用主人定理并且它是正确的。

Answer 1

我们可以看到a=49和b=25。请注意log_b(a) ~ 1.2和3/2 = 1.5。因此，log_b(a) < 3/2。因此，我们可以看到f(n) = n^{3/2}log(n) = Omega(n^{log_b(a) + epsilon})对于某些epsilon，因此主定理的情况3适用。因此，运行时间是

T(n) = Theta(f(n)) = n^{3/2}log(n)

注意：您还必须检查

af(n/b) <= cf(n)

表示常量c。当然

49 (n/25)^{3/2} log(n/25) <= c n^{3/2}log(n)

可以通过将n^{3/2}两边除以然后从两边减去c log(n)来检查

(49/25^{3/2} - c) log n - 49/25^{3/2} log(25) <= 0

至少对于c > 49/25^{3/2}来说这是肯定的（不需要这么做）。