Question

我需要为以下伪代码的最坏情况分析创建并解决递归关系。我将加数（不包括for循环计数器）作为我的基本操作。我假设n = 2 ^ k。

这是我取得的进步... 基本情况： T（n <= 4）= 1

W（n）= W（2 ^ k）=加法运算以计算下一个递归中的答案+加法+ for循环中的加法 W（2 ^ k）= 2 + W（2 ^（k-2））+（2 ^ k）-2 = W（2 ^（k-2））+（2 ^ k）

我使用反向替换并获得以下递归关系...

第j个递归调用 W（2 ^ k）= W（2 ^（k-2j））+（2 ^ k）+ sum（t = 1，j，2 ^（k-2（t-1）））

我知道我可以简化此过程，因为我采用W（2 ^（k-2j））= W（4）并求解j以查看代码采取了多少递归步骤。在这种情况下，j =（k / 2）-1。减少重复次数会给我...

W（2 ^ k）= 1 +（2 ^ k）+ sum（t = 1，j，2 ^（k-2（t-1）））。

减少总和会给我...

W（2 ^ k）= 1 +（2 ^ k）+（2 ^ k）*（2 ^ 2）* sum（t = 1，j，2 ^（-2t））或

W（n）= 1 + n + 4n * sum（t = 1，j，2 ^（-2t））

我不能简化的是求和。在讲座中，我们可能会有sum（i = 1，n，2 ^ i）的总和，该总和为2 ^（n + 1）-1，但是这一点有所不同。

int function calc(int n) {
   int num,answer;
   if(n<=4) {return n+10;}
   else {
     num=calc(n/4);
     answer=(num+num+10);
     for(int i=2;i<=n-1;i++) {
         answer=answer+answer;
     }
     return answer;
  }
}

任何帮助将不胜感激。该作业应于今晚进行。谢谢

Answer 1

问题的时间复杂度为T(n) = T(n/4) + n。术语n的意思是\Theta(n)。因此，T(n) = n + n/4 + n/4^2 + ... + n/(4^log_4(n)) = n(1 + 1/4 + ... + 1/n) = \Theta(n)。请注意，lim_{n\to \infty} 1 + 1/4 + ... + 1/4^log_4(n) = 4/3是一个常数。

Answer 2

T（n）= T（2 ^ k）//通过假设
T（n）= T（n / 4）+ n //是递归关系
T（2 ^ k）= T（2 ^（k-2））+（2 ^ k）//重写
T（2 ^ k）= T（2 ^（k-2j））+（2 ^ k）* SUM（i = 0; j-1;（1/4）^ i）//是关系用于迭代j
T（4）= T（2 ^（k-2j））= 1 //递归结束时，达到基本情况，仅添加1次
2 ^ 2 = 2 ^（k-2j）//重写并删除T
2 = k-2j //删除通用库
j =（k / 2）-1 //解决第j次迭代
注意：迭代不能使用小数，因此j = CEILING（（k / 2）-1）
SUM（i = 0; j-1;（1/4）^ i）=（1-（1/4）^ j）/（1-（1/4））
有关上面的几何和和变换证明，请参见下面的Wiki链接
用CEILING（（k / 2）-1）替换j，总和为...
SUM =（1-（1/4）^（天花板（（k / 2）-1））/（1-（1/4））
最后，T（2 ^ k）= 1 +（2 ^ k）* SUM
对于输入n，T（n）= 1 +（n * SUM）
此公式适用于所有k> = 1

正在测试多个值...

k = 1，T（2）= 1 +（2 * 0）= 1 //我们知道这是真的，因为T（2）是基本情况
k = 2，T（4）= 1 +（4 * 0）= 1 //我们知道这是真的，因为T（4）是基本情况
k = 3，T（8）= 1 +（8 * 1）= 9 //通过递归公式，T（8）= T（2）+ 8 = 9，真
k = 4，T（16）= 1 +（16 * 1）= 17 //通过递归公式，T（16）= T（4）+ 16 = 17，真
k = 5，T（32）= 1 +（32 * 1.25）= 41 //通过递归公式，T（32）= T（8）+ 32，T（8）= 9，32 + 9 = 41是

对于几何和 https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series

解决递归函数的递归关系

2 个答案: