n^1.001的增长大于n log n？
n^0.001似乎并不重要...... 答案 0 :(得分：3)
对于任何大于1的指数（x），n x 最终大于n * log（n）。在x = 1.001的情况下，所讨论的n难以置信地大。即使将x降低到1.01，n x 也不会比n * log（n）大，直到超过n = 1E + 128（但在达到1E + 256之前）。
因此，对于n小于天文数的问题，n 1.001 将小于n * log（n），但最终会达到更大的点。
答案 1 :(得分：1)
如果有人感兴趣，这是一个正式的证明：
为简单起见，我们假设我们在基数e中使用对数。
让a > 1成为任何指数（例如a = 1.001）。然后是a-1 > 0。现在考虑函数
f(x) = x^(a-1)/log(x)
使用L'Hôpital的规则，不难看出这个功能是无限的。此外，计算f(x)的导数，人们也可以看到x > exp(1/(a-1))的函数正在增加。
因此，必须存在整数N，对于所有n > N，f(n) > 1都是n^(a-1)/log(n) > 1
。换句话说
n^(a-1) > log(n)
或
n^a > n log(n).
所以
O(n^a) >= O(n log(n))这表明>。
但等一下。我们想要>=，而不是a = 1.001，对吧？幸运的是，这很容易看到。例如，在O(n^1.001) > O(n^1.0001) >= O(n log(n))
的情况下，我们有
{{1}}
我们已经完成了。