具有非最小旋转弧的四元数生成

Question

numpy的四元数模块可以从精确坐标生成四元数。例如：

theta = np.pi  / 3.0
phi = np.pi / 3.0
qRot = q.from_spherical_coords(theta,phi)

qRot quaternion(0.75, -0.25, 0.433012701892219, 0.433012701892219)

此四元数将Z轴旋转为指向theta，phi coords的单位矢量V.此四元数不会产生最小的旋转弧。最小旋转弧轴位于xy平面中。由于将Z移动到V的非最小旋转是无穷大的，产生四元数qRot的基本标准是什么？

感谢您的回复。

Answer 1

我假设您使用的是numpy-quaternion包。

In [2]: theta = np.pi  / 3.0
   ...: phi = np.pi / 3.0
   ...: 

（theta，phi）四元数可以由2个四元数组成，一个围绕y轴旋转（前一个问题），另一个围绕z轴：

In [3]: q1 = q.from_spherical_coords(theta,0)
In [4]: q1
Out[4]: quaternion(0.866025403784439, -0, 0.5, 0)
In [5]: q2 = q.from_spherical_coords(0,phi)
In [6]: q2
Out[6]: quaternion(0.866025403784439, -0, 0, 0.5)
In [7]: q12 = q.from_spherical_coords(theta,phi)
In [8]: q12
Out[8]: quaternion(0.75, -0.25, 0.433012701892219, 0.433012701892219)

In [9]: q1*q2
Out[9]: quaternion(0.75, 0.25, 0.433012701892219, 0.433012701892219)

它也可以由一系列较小的旋转组成

In [11]: qn = q12**.1
In [12]: qn
Out[12]: quaternion(0.997389412687609, -0.0272930118179609, 0.0472728831602861, 0.0472728831602861)
In [13]: qn*qn
Out[13]: quaternion(0.989571281082665, -0.0544435220551839, 0.0942989463425753, 0.0942989463425753)
In [14]: qn**10
Out[14]: quaternion(0.75, -0.25, 0.433012701892219, 0.433012701892219)

我猜测你所谓的minimal rotation arc可以通过这种小四元数序列产生的旋转来近似。

我不明白为什么你声称这个弧的轴位于xy平面上。

旋转单位Z轴：

In [17]: v=np.array([0,0,1])
In [23]: q.as_rotation_matrix(q1).dot(v)
Out[23]: array([0.8660254, 0.       , 0.5      ])

In [24]: q.as_rotation_matrix(q2).dot(_)
Out[24]: array([0.4330127, 0.75     , 0.5      ])

In [25]: q.as_rotation_matrix(q12).dot(v)
Out[25]: array([0.4330127, 0.75     , 0.5      ])

或作为一系列qn轮换：

In [26]: q.as_rotation_matrix(qn).dot(v)
Out[26]: array([0.09171851, 0.05891297, 0.99404073])
In [27]: q.as_rotation_matrix(qn**2).dot(v)
Out[27]: array([0.17636312, 0.12553607, 0.97628722])
In [28]: q.as_rotation_matrix(qn**3).dot(v)
Out[28]: array([0.25216838, 0.19847972, 0.94710977])
In [29]: q.as_rotation_matrix(qn**10).dot(v)
Out[29]: array([0.4330127, 0.75     , 0.5      ])

我仍然试图找出使用此课程进行计算和旋转的最佳方法。并且我会定期获得核心转储，因此它可能不是numpy最强大的四元数包。

https://math.stackexchange.com/q/7187

我的qn权力产生与slerp函数相同的四元数：q.slerp_evaluate(q1,q3,x)

https://en.wikipedia.org/wiki/Slerp#Quaternion_Slerp，

  

球面线性插值，由Ken Shoemake在四元数插值的背景下引入，用于动画3D旋转。它指的是沿着单位半径大圆弧的恒速运动，给定端点和介于0和1之间的插值参数。

通过早期阅读几何代数旋转，我有点偶然发现了这一点。它指的是沿着单位半径大圆弧的恒速运动，给定端点和介于0和1之间的插值参数。

pyquaternion

我厌倦了细分错误，并已切换到pyquaternion。文档也更好。

http://kieranwynn.github.io/pyquaternion/

使用相同的（w，x，y，z）值定义四元数：

In [10]: q=Quaternion(np.array([0.75, -0.25, 0.433012701892219, 0.433012701892219]))
In [13]: q.rotation_matrix
Out[13]: 
array([[ 0.25     , -0.8660254,  0.4330127],
       [ 0.4330127,  0.5      ,  0.75     ],
       [-0.8660254, -0.       ,  0.5      ]])

旋转轴为：

In [16]: q.axis
Out[16]: array([-0.37796447,  0.65465367,  0.65465367])

此四元数将单位垂直旋转到：

In [17]: z=np.array([0,0,1])
In [18]: q.rotate(z)
Out[18]: array([0.4330127, 0.75     , 0.5      ])   # cf Out[25]

q1（在[3]中）（上一个问题）是：

In [28]: a1 = np.array([0.866025403784439, -0, 0.5, 0])
In [29]: q1 = Quaternion(a1)
In [30]: q1.axis
Out[30]: array([0., 1., 0.])
In [31]: q1.degrees
Out[31]: 59.999999999999986

即绕y轴旋转60度。

可以使用以下公式计算旋转弧：

In [32]: qn = q**.1
In [38]: np.array([(qn**n).rotate(z) for n in range(0,11)])
Out[38]: 
array([[0.        , 0.        , 1.        ],
       [0.09171851, 0.05891297, 0.99404073],
       [0.17636312, 0.12553607, 0.97628722],
       [0.25216838, 0.19847972, 0.94710977],
       [0.31755317, 0.27622248, 0.90711693],
       [0.37115374, 0.35714286, 0.85714286],
       [0.41185212, 0.43955305, 0.79822988],
       [0.43879944, 0.52173419, 0.73160678],
       [0.45143365, 0.6019722 , 0.65866314],
       [0.44949123, 0.67859351, 0.58092037],
       [0.4330127 , 0.75      , 0.5       ]])

描绘这个弧线有点棘手。该平面垂直于q.axis，但不通过（0,0,0）原点。