关于可微功能的大证明

Question

在下面的问题中，假设f，g：R→R是可微分的 严格地增加（f'（x）> 0并且对于所有x）g'（x）> 0。证明以下陈述或提供一个反例：f（x）= O（g（x））当且仅当f'（x）= O（g'​​（x））？

我理解大限制的定义，鉴于我对微积分的基本知识，上述内容是正确的，但我不确定如何用数学方法编写声音证明。

Answer 1

反例是将g(x) = 0和f(x) = 1放在一起。这两个导数都是零，因此f'(x) = O(g'(x))成立，但1 = O(0)并不正确。

编辑：好的，我错过了非零衍生品的条件，但仍有一个反例。这个想法是一样的 - 让g(x)无限接近于零。

考虑error function。让我们放g(x) = erf(x) - 1和f(x) = erf(x)。 g(x)会越来越接近零，x变大，因此无法找到超过f(x)的适当常量。因此，虽然f'(x) = O(g'(x))（实际上，f'(x) = g'(x)）不符合f(x) = O(g(x))。