图算法，近似算法

Question

删除随机图的dfs树的叶子后，假设剩下的边数是| S |，我们能否证明该图的匹配是| S | / 2？

Answer 1

这是一个证明。

定理：让T成为i叶的任何树。 (|T|-i)/2中有T个匹配。

证明：通过归纳。如果T是包含i树的树，请T'为从T删除所有树叶时生成的树。 T'有j <= i个离开。同样，让T''成为从T'中删除所有树叶时产生的树。 T''有k <= j个离开。

通过归纳法将定理应用于T''，因此(|T''|-k)/2 = (|T|-i-j-k)/2中存在大小T''的匹配。边集T-T'包含至少j个边缘，这些边缘不会发生在T''中的任何边缘或相互之间（选择T'中每个叶子的一个事件），所以添加这些边以在大小T的{​​{1}}中进行匹配。自(|T|-i+j-k)/2起，这至少是j >= k个边缘。 QED。

我对/ 2的地板/天花板问题进行了掩饰，但我怀疑如果你把它们包括在内，证明仍然有效。