飞机上的封闭点？

Question

假设我有一个完整的，无向图G，每个边都有一个距离。具有长度l的边（u，v）的含义是“点u和v不能彼此更接近于l”。我的目标是将该图的节点放在一个平面中，这样就不会违反这些距离约束，并且这些点的凸包具有最小的总面积。举个例子，假设我有一堆电子元件要放在芯片上，每个电子元件会产生一些电气干扰。如果我将组件放得太近，它们就会开始相互干扰，使整个系统变得无用。鉴于每个点的最小距离应该来自彼此，将组件放在芯片上的最节省空间的方法是什么？

我不知道如何开始考虑这个问题。我也不知道问题可能会如何推广到更高维度的情况（将点装入超平面）。有谁知道解决这个问题的好方法？

Answer 1

我有一个最佳解决方案，但你不会喜欢它:)。

让我们标记节点x ₀ ，x ₁ ，...，x _n 。设B = max _{i，j＆lt; n} （dist（x _i ，x _j ）），其中dist（x _i ，x _j ）是x _i 和x _j 之间的最小距离。对于每个i，将节点x _i 放置在位置（0，i * B）。现在每个节点距离所有其他节点至少B，并且凸包具有区域0。

这里的真正要点是，单独最小化凸包的面积将为您提供一个无意义的解决方案。一个可能更好的措施是凸壳的直径。

Answer 2

我想很难找到最佳算法。如果事实证明这是一个NP难题，我不会感到惊讶。但是，如果您对能够提供合适解决方案的实用算法感兴趣，我建议您查看force-based graph drawing algorithms。

这是一般的想法（会出现一些更高的数学。）。它推广到任意数量的维度。

构造一个函数f，为每个节点布局分配一个值 - 一个您想要最小化的值。在您的情况下，该函数可以计算给定布局的凸包的面积+对于未满足的每个约束的大惩罚。或者它可能是一个更简单的函数g，它合理地接近前者：简而言之，我们希望g在f变小时变小，反之亦然。最好选择一个相对简单的函数，因为你需要计算它的偏导数（相对于节点的坐标）。

现在假设您有100个节点，并且您希望将它们放在3D中。这意味着您有300个未知数字（100个节点乘以每个节点3个坐标）。函数f是从 R ³⁰⁰ 到 R 的函数，理想情况下我们希望找到它的全局最小值。更现实的是，足够深的局部最小值就足够了。

有众所周知的数值算法可以找到这样的最小值，例如：Conjugate gradient，BFGS。好的是，你没有必要详细了解它们，这些算法是用多种语言实现的。您所要做的就是为算法请求的任何f(x)提供计算f'(x)和x的方法，以及初始布局x₀。

Answer 3

具有额外约束的2D bin packing problem（NP难）。我听说模拟退火在电路/芯片设计方面表现相当不错。

对于looking for real-world test-data of a big bin packing problem，我实际上是Drools Planner。