Question

1a。）循环在下面，我想找到它的运行时间。这是循环

sum = 0
for (int i =0; i < N; i++){
    for(int j = i; j >= 0; j--)
          sum ++

第一个for循环在O（n）中运行很容易，但是对于第二个我认为它也在O（n）时间运行，因为每当j = i时，这个循环将运行i次。

所以我写下这个有一个O（n ^ 2）的运行时间。

1b中。）此外，当有问题要求“theta bound”时，有人还可以解释是什么意思吗？

Answer 1

嗯，在这里计算出确切的循环迭代次数非常简单。你得到1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + N。

总和为N（N + 1）/ 2，所以是的，算法复杂度为O（N ²）。

我不能说我遇到了这些界限...... Wikipedia page on big-O notation虽然提到了它，但这可能是一个合理的开始点。

Answer 2

Theta bound意味着它是一个紧密的渐近界限，它限制了从上到下的运行时间。在您的示例中，N ^ 2是运行时间的下限和上限，因此它是运行时间的θ限制。

更正式：

存在k1和k2，使得：

N ^ 2 * k1＆lt; = N（N + 1）/ 2＆lt; = N ^ 2 * k2

对于N＆gt;一些值N0。

Answer 3

f(n) = O(g(n))当且仅当足够大n时，c存在常量f(n) <= c*g(n)。基本上，big-O表示法给你一个上限。您也可以说您的计划在O(n^3)，O(n^2011)甚至O(n^42142342)中运行，但这些对您没有多大帮助，是吗？

Theta表示法为您提供了紧界限，这更有帮助。 f(n) = Theta(g(n))当且仅当足够大n存在常量c1, c2时c1*g(n) <= f(n) <= c2*g(n)，这意味着您知道算法与其成正比的确切函数。

您的算法执行1 + 2 + 3 + ... + N次操作，总计N(N+1)/2。这是Theta(N^2)，因为N^2/4 + N/4 <= N^2/2 + N/2 <= N^2 + N。因此，您可以将上述定义中的c1和c2设为1/2和2。

大多数时候人们会使用big-O表示法来表达紧张，但这不是必需的。当被要求提供函数的big-O时，总会有多个答案，但是当被要求提供theta界限时，只有一个答案。