for循环的运行时间

Question

查看http://faculty.simpson.edu/lydia.sinapova/www/cmsc250/LN250_Weiss/L03-BigOh.htm#Counting上嵌套for循环的运行时间的示例和说明，第二个示例对我来说不合适。

示例1

sum = 0;  
for( i = 0; i < n; i++)  
    for( j = 0; j < n; j++)  
        sum++;

马上就有意义。外部for循环是O（n）。 Inner for Loop也是O（n）。将它们相乘，O(n) * O(n) = O(n*n) = O(n^2).

第二个例子。 Inner for循环不以0开头。

sum = 0;  
for( i = 0; i < n; i++)  
    for( j = i; j < n; j++)  
        sum++;

内循环的运行时间为( 1 + 2 + … + n) = n*(n+1)/2 = O(n^2)与第一个示例一样，外循环在O（n）处运行。因此，总运行时间是O(n) * O(n^2) = O(n^3).我是对的，或者我错过了什么？ 谢谢！

Answer 1

(1 + 2 + … + n) = n*(n+1)/2 = O(n^2)是该计划的总时间。您不需要将它乘以O(n)作为外循环;你已经把外环考虑在内了。

[注意：从技术上讲，可以说算法是O(n^3)。这只是有点误导。]

Answer 2

您正在累加内循环的总运行时间 - 而不是外循环每次迭代的运行时间。每次外部迭代的内部循环的运行时间仍为O（n），导致总体结果为O（n ² ）。

换句话说 - 如果您理解第一个示例，并且第二个示例 less 比第一个示例更有效，那么它怎么会有更大复杂度？< / p>

Answer 3

内循环的运行时间平均约为n / 2，因此仍为O（n），与第一个示例相同。

Answer 4

回应上面的前两个答案。 我看不出(1 + 2 + … + n) = n*(n+1)/2 = O(n^2)将如何总运行时间

说，n = 3

sum = 0;  
for( i = 0; i < n; i++)  
    for( j = i; j < n; j++)  
        sum++;

内循环的总运行时间是1次+ 2次+ 3次

那么，外环发挥作用的地方？它也运行O（n）次（与第一个例子中一样）