我几天来一直在考虑这个问题,并且在计算第二个嵌套for循环运行的次数时挂断了。我相信我有正确的公式来确定其他两个for循环的运行时间,但是第三个让我挂断了。我有第一个循环运行n-1次。确定循环#2运行次数的等式是; 1到n-1的总和。如果有人能帮助我理解如何找到循环#3运行的次数,那将非常感激。
for ( int i=1; i<=n-1; i++ ) {
for ( int j=i+1; j<=n; j++ ) {
for ( int k=1; k<=j; k++ ) {
}
}
}
答案 0 :(得分:2)
第三个循环运行C次:
C = Sum( Sum ( Sum ( 1 , k = 1 .. j ) , j = i+1 .. n ) , i = 1 .. n-1 )
= Sum( Sum ( j , j = i+1 .. n ) , i = 1 .. n-1 )
= 2 + 3 + 4 + ... + n
+ 3 + 4 + ... + n
...
+ n
= 2*1 + 3*2 + 4*3 + 5*4 + ... + n*(n-1)
= (1*1 + 1) + (2*2 + 2) + (3*3 + 3) + ... + ((n-1)*(n-1) + n-1)
= (1^2 + 2^2 + ... (n-1)^2) + (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))
= (n-1)*n*(2*n-1)/6 + (n-1)*n/2
= (n-1)*n*(2*n+2)/6
= O(n^3)
这里我使用了公式:
1^2 + 2^2 + ... + m^2 = m*(m+1)*(2*m+1)/6
和
1 + 2 + ... + m = m*(m+1)/2