无法找到嵌套for循环的时间复杂度

Question

所以我一直试图使用以下算法找到大哦复杂性：

for (i = 1; i ≤ n;i + +)
     for (j = 0; j < n; j = j + i)
          print(Array[j]);

我被告知最佳方式是使用求和表示，我知道它可以用某种形式的系列表示，我真的不知道从哪里开始。我可以看到外部循环迭代n次，但内部循环是我得到的东西。我希望我能在这里推动正确的方向而不是答案。

Answer 1

如果扩展两个for循环中的汇总数。数组索引应如下所示

  

    

（0,1,2，...... n-1），（0,2,4，... n-1），（0,3,6,9 ...... n-1） .....（0，N / 2），（0）

  

如果我们观察到第一个括号 n ，则第二个括号 n / 2 ，依此类推，直到最后一个括号 1 。
所以总和的总数可以写成

  

    

Summations = Sum（从i = 1到n）[n / i]

  

尝试求解求和，您将得到求和总数

Answer 2

让我们按照你的建议使用求和，以获得更加分析/代数的方法。

首先，只考虑：

for (i = 1; i <= n; i++)
    //some O(1) operation

这很简单，因为var i获取从1到n的所有整数值范围。 我们可以用以下求和来表达这个循环：

现在，仅考虑：

for (j = 0; j < n; j = j + k)
    //some O(1) operation

其中k是常数正整数项（如1,2,3，......等），k <= n

在这种情况下，var i 不获取从0到n-1的所有整数值范围。例如，让k=2，然后我们可以在下图中表示正在发生的事情：

您在黑色中看到的是可能整数的间隔，红色代表var i所需的实际整数值。如你所见，var i在奇数上“跳”到n-1，所以在这种情况下（当k=2时）只取偶数。

结果，当k=2时，复杂性由求和给出：

通常，可以对任何k进行类似的方法。特别要注意的是，当k倾向于n时，复杂性往往会降低。

出于我们的目的，我们可以重写循环：

for (j = 0; j < n; j = j + k)

如：

for (j = 0; j < n/k-1; j++) 

两者都具有相同的复杂性。

最后，请考虑：

for (i = 1; i <= n; i++)
     for (j = 0; j < n; j = j + i)
          //some O(1) operation

在内圈中，我们i扮演的角色与k之前相同。这意味着内部循环将以1到n范围内的i的每个可能值执行。

重写为：

for (i = 1; i <= n; i++)
     for (j = 0; j < n/k-1; j++)
          //some O(1) operation

因此，复杂性由以下两个嵌套的总结给出：

首先，开始使用内部求和（右边的）进行评估：

注意我意外地将var名称从i更改为x，但这并不重要。

我们在这里得到了另一张海报给出的完全相同的结果。

现在，如果您只是展开最后一次求和，结果为：

现在括号中的是 n次谐波数，不要与谐波系列混淆。这是离散数学（和其他领域）中有趣的数字。

这可以表示为：

请注意，通过此分析，您可以获得渐近紧束缚。

BTW：您可以查看此link

中的最后一个等式

语法为：

Sum[Sum[1, {j, 0, (n/i)-1}], {i, 1, n}]=Sum[n/x, {x, 1, n}]=n*Sum[1/x, {x, 1, n}]=n*(1+1/2+1/3+...+1/n)=n*HarmonicNumber[n]

我希望这会有所帮助。