Question

我需要计算以下代码的时间复杂度：

for (i = 1; i <= n; i++)
{
  for(j = 1; j <= i; j++)
  {
   // Some code
  }
}

O（n ^ 2）？

Answer 1

是的，嵌套循环是快速获得大O符号的一种方法。

通常（但不总是）一个嵌套在另一个循环中的循环将导致O（n²）。

考虑一下，内部循环执行i次，执行i 的每个值。外循环执行n次。

因此你会看到这样的执行模式： 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n次

因此，我们可以通过声明它执行的次数超过n次（下限）来约束代码执行次数，但就n而言，我们执行代码的次数是多少次？

嗯，从数学角度来说，我们可以说它的执行时间不会超过n²次，这给我们带来了最糟糕的情况，因此我们的O（n²）的Big-Oh界限也是如此。（有关我们如何以数学方式说明Power Series）

的更多信息

Big-Oh并不总是能够确切地测量完成了多少工作，但通常会给出最坏情况下的可靠近似值。

4年后编辑：因为这篇文章似乎获得了相当多的流量。我想更全面地解释如何使用幂级列

将执行限制为O（n²）

从网站：1 + 2 + 3 + 4 ... + n =（n²+ n）/ 2 =n²/ 2 + n / 2。那我们怎么把它变成O（n²）？我们（基本上）说的是n 2> = n 2/2 + n / 2。这是真的？我们来做一些简单的代数。

应该清楚的是，n 2> = n（由于n = 0或1的情况，不严格地大于n），假设n总是一个整数。

实际的Big O复杂性与我刚才所说的略有不同，但这是它的要点。实际上，Big O复杂性会询问是否有一个常量我们可以应用于一个函数，使得它比另一个函数更大，对于足够大的输入（参见wikipedia页面）

Answer 2

解释这一点的一种快速方法是将其可视化。

如果i和j都是从0到N，则很容易看到O（N ^ 2）

O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O
O O O O O O O O

在这种情况下，它是：

O
O O
O O O
O O O O
O O O O O
O O O O O O
O O O O O O O
O O O O O O O O

这是N ^ 2的1/2，仍然是O（N ^ 2）

Answer 3

实际上，它是O（n ^ 2）。另请参见具有相同运行时here的非常相似的示例。

Answer 4

首先，我们考虑循环，其中内循环的迭代次数与外循环索引的值无关。例如：

 for (i = 0; i < N; i++) {
     for (j = 0; j < M; j++) {
         sequence of statements
      }
  }

外循环执行N次。每次外循环执行时，内循环执行M次。结果，内循环中的语句总共执行N * M次。因此，两个循环的总复杂度是O（N2）。

Answer 5

在外环（I = 1）的第一迭代中，内环将迭代1次在外环（I = 2）的第二迭代中，内环将迭代2时间在外环（I = 3）的第三迭代中，内环将迭代的3倍
。
。
在外循环的最后一次迭代（i = n）时，内环将迭代n次

所以，总次数在内部循环的语句将被执行将等于所述整数的从1到n的总和，这是：

((n)*n) / 2 = (n^2)/2 = O(n^2) times

Answer 6

是的，时间复杂度为O（n ^ 2）。

Answer 7

我认为最简单的思考方式是这样的：

外循环运行 n 次，对于 至少 n/2 次迭代，内循环运行 至少 n/2 次。因此，内循环迭代的总数至少为 n²/4。这是 O(n²)

同理，外循环运行n次，每次迭代，内循环最多运行n次。因此，内循环迭代的总数最多为 n²。这也是 O(n²).