渐近符号属性证明？

Question

我试图证明如果f（n）和g（n）是渐近正函数，那么：

1. f（n）= O（（f（n））^ 2）

2. f（n）= O（g（n））表示2 ^（f（n））= O（2 ^（g（n）））

3. f（n）= O（g（n））表示g（n）= O（f（n））

Answer 1

1）定理：如果f（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，那么f（n）= O（（f（n））^ 2）（注意我添加了一个额外的，也许是隐含的假设。）

证明：因为f（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，所以保证对于所有自然数n大于或等于某个自然数n0，f（n）> 0，因此f（n）> = 1.因为f（n）保证是正的，我们可以自由地将不等式的两边乘以f（n）而不改变方向以得到f（n）^ 2＆gt; ; = f（n）。因此，我们可以选择c = 1并从假设中使用n0来表明f（n）= O（（f（n））^ 2）。 （回想一下，通过Big-Oh的定义，f（n）= O（g（n））当且仅当存在常数c> 0，n0使得对于n> = n0，f（n）＆lt ; = c * g（n））。

2）定理：如果f（n）和g（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，而f（n）= O（g（n）），那么它不一定是真的 2 ^（f（n））= O（2 ^（g（n））。

证明：证据就是例子。可以证明4n = O（2n）。 4n和2n都是从自然到自然的渐近正函数。然而，也可以证明2 ^（4n）= 16 ^ n不是O（2 ^（2n））= O（4 ^ n）。

3）定理：如果f（n）和g（n）是从自然数到自然数的渐近正函数，而f（n）= O（g（n）），那么它不一定是真的 g（n）= O（f（n））。

证明：证据就是例子。可以证明n = O（n ^ 2）。 n和n ^ 2都是从自然到自然的渐近正函数。但是，也可以证明n ^ 2不是O（n）。

Answer 2

  

  
1. f（n）= O（（f（n）） ² ）
  

默认情况下，任何函数都是big-O，即我们可以使用更大的常量 c _big ，这样f（n）＆lt; = c <子>大 .F（n）的

因此，

• 如果f（n）小于或等于c _big .f（n），
• 那么对于渐近正f（n），f（n）肯定会小于或等于c _big .f（n）.f（n）。

数学上，f（n）= O（f（n）.f（n））= O（f（n） ² ）为真。

  

  
1. f（n）= O（g（n））表示2 ^f（n） = O（2 ^g（n））
  

1. f（n）= O（g（n））意味着f（n）<= g（n）
2. 此外，如果某个正数 n 小于 m ，那么2 ⁿ 将小于2 ^米
3. 使用上面的1.和2.我们可以得出结论，如果f（n）= O（g（n）），那么2 ^f（n） = O（2 ^{g （n）的}）

  

  
1. f（n）= O（g（n））表示g（n）= O（f（n））
  

这个错了。

f（n）= O（g（n））表示g（n）=Ω（f（n））。

如果f（n）= O（g（n）），则f（n）上限为g（n），这意味着g（n）下限为f（n），因此g（n） ）=Ω（f（n））。