霍纳方法的运行时间复杂性

Question

这是Horner用于计算x处多项式值的方法的伪代码（其中a [i]表示x ^ i的系数）：

y=a[0]
for i = n to 1
   y = a[i] + x*y

互联网上的许多文章都指出霍纳方法的运行时间与 n 成正比。 但由于y中的项数与（ni）成比例（当我们已经完成i次迭代时），所以不应该花费的总时间为（n-1）+（n-2）.... 1这与 n ^ 2 成正比？ 或者我们是否始终认为任何乘法（不论术语的数量）都需要恒定的时间？

Answer 1

您正在尝试计算多项式的值，因此代码中的y是一个数字，而不是另一个多项式。您之前已将x定义到您希望计算多项式值的值。

是的，我们假设两个数的乘法是常数运算。因此，在每次迭代中，您执行一次乘法和一次加法，两个整数之间的操作（可能是浮点数，取决于您正在操作的字段）和一个赋值，所有这些都是常量。您执行这三项操作n次，总计O(n)。

另外我相信您应该在a[n]中将y放在第一步中，然后从n-1迭代到0或者反转for循环的迭代，具体取决于关于多项式的表示。