找到两个覆盖所有点的最小区域的矩形

Question

你得到一个n点，在数组中未分类。您应该找到两个覆盖所有点的矩形，它们不应重叠。矩形的边缘应平行于x或y纵坐标。
该程序应返回所有这些点所覆盖的最小区域。第一个矩形的区域+第二个矩形的区域。

我试图解决这个问题。我按X纵坐标对点进行排序，第一个是第一个矩形的最左边一个。当我们通过积分时，我们找到最高点和最低点。我在想，当两个点之间的差异乘以x时，这意味着第一个点是第一个矩形中最右边的一个，第二个点是第二个矩形中最左边的一个。
它应该在第一个示例中给出点时起作用，但是，如果示例是第二个示例则它不起作用。因为它会返回类似这样的东西，这是错误的：

这应该是正确的：

 
然后我想要做两次排序，只是，第二次用Y纵坐标做，然后比较两个总面积。当点按x排序并且点按y排序且较小区域是正确答案时的区域。

Answer 1

两个矩形不能重叠，因此一个必须完全在右边或在另一个上面。你想按x值对点进行排序并找到最大差距的想法是好的，但你应该按照你的建议对两个方向进行分类。那会在你的例子中找到正确的矩形。

然而，最大的差距不一定是理想的分裂点。取决于垂直方向上的边界框的范围，分割可以在其他地方。考虑一个带有四个象限的矩形区域，其中两个对角相对的象限填充有点：

在这里，理想的分裂不是最大的差距。

您可以通过考虑具有相邻x坐标和y坐标的点之间的所有可能分割来找到理想位置。

• 按x坐标对点进行排序。
• 按升序扫描已排序的数组。通过存储最小和最大y坐标来跟踪当前点左侧的最小矩形。为每个点存储这些运行的顶部和底部边框。
• 现在按降序执行相同的操作，您可以在其中为右侧矩形运行顶部和底部边框。
• 最后，再次遍历这些点并计算左右最小矩形的区域，以便在两个相邻节点之间进行分割。跟踪最小面积总和。

然后对最小的顶部和底部矩形执行相同的操作。最后两个步骤可以组合在一起，这将为正确矩形的最小边界保存数组。

这应该是O（n·log n）及时：排序是O（n·log n），单个遍是O（n）。对于第一个矩形的运行边界框，你需要O（n）额外的内存。

Answer 2

第一个观察是矩形的任何边都必须触及其中一个点。没有触及某个点的边缘可能会被拉回，导致面积减少。

给定n个点，因此对于left1，right1，bottom1，top1，left2，right2，bottom2和top2总共有n个选择。这给出了一个简单的O（n ^ 8）算法：尝试所有可能的分配，并记住给出最小总面积（right1 - left1）（top1 - bottom1）+（right2 - left2）（top2 - bottom2）的算法。实际上，你可以跳过任何正确的组合＆lt;左或上＆lt;底部。这给出了加速，但它不会改变O（n ^ 8）的界限。

另一个观察结果是边缘应该保持在所有点的最小和最大X和Y范围内。找出任何点的最小和最大X和Y值。将这些minX，maxX，minY和maxY称为。至少有一个矩形需要分别在这些级别上有左，右，下和上边缘。

因为必须将minx，maxX，minY和maxY分配给两个矩形中的一个，并且正好有2 ^ 4 = 16种方法，所以您可以尝试四种可能的分配中的每一种，其余的坐标分配为以上。这给出了一个O（n ^ 4）算法：O（n）得到minX，maxX，minY和maxY，然后是O（n ^ 4）来填充minX，maxX的16个赋值中的每一个的四个未赋值变量， minY和maxY到八个边缘坐标。

到目前为止，我们忽略了矩形不重叠的要求。为了适应这种情况，我们必须确保满足以下四个条件中的至少一个：

1. 在Y坐标h处的水平线，其中top1 <= h <= bottom2
2. Y坐标h的水平线，top2 <= h <= bottom1
3. X坐标w处的垂直线，其中right1＆lt; = h＆lt; = left2
4. X坐标w处的垂直线，其中右2＆lt; = h＆lt; = left1

当且仅当所有这四个条件同时为假时，两个矩形重叠。这允许我们跳过候选解，提供加速但不改变渐近约束O（n ^ 4）。请注意，我们需要特别检查这个条件，否则，最佳解决方案可能会重叠（练习：显示这样的示例）。

让我们试着再多花些时间。假设我们通过上面的条件＃1有非重叠的矩形。那么h有n个选择;我们可以尝试这n个选项中的每一个，然后通过找到结果中的点的最小和最大坐标来确定结果选择的区域。通过尝试h的所有n个选择，我们可以确定最佳情况＆＃34;垂直分裂。我们不需要尝试条件＃2，因为唯一的区别在于矩形的排序是任意的。我们还必须尝试使用​​水平分割的条件＃3。这表明O（n ^ 2）算法：

1. 对于每个点，请选择h = point.y
2. 使用point.y＆lt; = h和point.y＆gt;将点分成组。小时。
3. 找到两个点子集的最小和最大X和Y坐标。
4. 计算两个矩形区域的总和。
5. 请记住从上面获得的最小区域和相应的h。
6. 重复，但使用w和X坐标。
7. 确定是否为垂直或水平分割获得最小区域
8. 返回相应的矩形作为答案

我们能做得更好吗？这是O（n ^ 2）而不是O（n），因为对于h和w的每个选择，我们需要找到每个子组的最小和最大坐标。假设通过两个子组进行线性扫描。当水平/垂直扫描时，我们实际上不需要为最小和最大X / Y坐标执行此操作，因为这些将是已知的。我们需要的是解决这个问题的方法：

  

给定n个点和值h，找到Y坐标不大于h的任何点的最大X坐标。

我上面给出的一个显而易见的解决方案是O（n ^ 2），但你可以通过巧妙的排序应用找到一个O（n log n）解决方案，甚至可以通过更多的O（n）解决方案来找到聪明的方法。我不会尝试这个。

我们的解决方案是O（n ^ 2）;理论上最优的解是Omega（n），因为你必须至少看看所有的点。所以我们非常接近，但还有改进的余地。