Question

问题表明我有一个大矩形，尺寸为L和W，以及无限数量的相同小矩形，尺寸为l和w。 L * W保证大于l * w。所以我想找出可以放入大矩形的小矩形的最大数量，而不会重叠。您可以将小矩形放在您喜欢的任何方向。

Answer 1

Axis Aligned

矩形在平铺时最适合，两者之间没有空隙。所以，概述了如何做到这一点：

首先，如果你只是将它们平铺在一起，弄清楚有多少适合：

lFit = L / l // integer division for these, no remainder
wFit = W / w

你知道如果你把它们放在与大矩形相同的方向上，你可以在里面放置lFit * wFit个矩形。再次检查其他方向，并选择较大的方向作为基础。

现在你可能还剩下一些空间。那个空间由矩形组成。您可以从上一步轻松找到这些大小。再次为这些较小的矩形运行它并添加到基数。递归直到不再适合。

如果没有任何瓷砖适合“剩余的”较小的矩形，则需要检查倾斜的矩形。

对角线

一旦您的瓷砖不适合轴对齐到矩形中，您需要倾斜它。您可以通过倾斜它们来包装最多的瓷砖，以适应最长的盒子尺寸，并将其牢固地放在三个墙壁上。然后你尝试在它下面堆叠更多。

注意：对于这里的所有数学，我使用width作为“最长边”。如果你的矩形/瓷砖不匹配，只需翻转尺寸。

要确定正确的旋转角度，您可以使用试验/错误二进制搜索。我确信有一种更“肮脏”的方式来做，但这种方法效果很好。旋转矩形的边界宽度的公式是（以弧度表示的角度）：

width = w * cos(angle) + h * sin(angle)

要进行试验/错误，只需将其循环直至达到容差：

// boxWidth, tileWidth, tileHeight
public static double getAngle(double bw, double tw, double th){
    double err = 10;
    double maxAngle = PI * 0.25; // 45 degrees, any more would be taller than wide
    double angle = maxAngle * 0.5; // start in the middle
    double angleDelta = angle * 0.5; // amount to change;
    count = 0;
    while(count++ < 100){
        double rotatedWidth = tw * Math.cos(angle) + th * Math.sin(angle);
        err = rotatedWidth - bw;
        if(Math.abs(err) < TOLERANCE){
            return angle;
        } else if(err < 0){
            angle -= angleDelta;
        } else {
            angle += angleDelta;
        }
        angleDelta *= 0.5;
    }
    return -1; // found no good angle in 100 attempts
}

一旦你有角度，你可以使用基本触发来找出其他一些点：

找到要放置的图块顶部边缘的最低y点。致电此y1
- y1 = sin(angle) * tileWidth
找到图块的 left 边缘的最低点。致电此y2
- y2 = sin((PI * 0.5) - radians) * tileHeight
每个添加的图块将占用y2个垂直空间，因此适合的数字为：
- (boxHeight - y1) / y2

我创建了一个你可以玩的小ideone.com example。代码相当丑陋，但它的工作原理。对于您在评论中的示例（13x8, 14x1），它会显示：

Rotated 26.23397827148437 degrees
y1 = 6.188525444904378
y2 = 0.8969959689614577
numTiles = 2

覆盖具有相同小矩形的大矩形

1 个答案:

Axis Aligned

对角线