Question

＆＃34;二叉树中的完整节点是具有两个子节点的节点。证明a（非空）中的完整节点数二叉树比叶子的数量少一个＆＃34;

我遇到了这个问题，我不知道它在问我什么，因为我们还没有在讲座中做过这些问题。它要求我做什么以及如何做＆＃34;证明＆＃34;它？

谢谢

编辑：这就是我所做的。我不太确定这是否正确，但问题是我尝试使用英语而不是使用数学来解释它

＆＃34;考虑到存在单个节点的基本情况，这意味着树具有单个叶子并且没有具有两个子节点的节点。这比叶子数少一个。如果将节点添加到具有0个子节点的节点，则具有两个子节点和叶子数的单个节点不会发生变化。如果将节点添加到具有子节点的节点，则具有两个子节点和叶数的节点数将增加1.总之，将节点添加到现有节点是不可能的。二叉树中节点之间的差异总是比叶子数少一个，因为尝试向树中添加节点不会改变或者将树和叶子的数量增加1。＆＃34;

Answer 1

你的课程叫什么＆＃34;二叉树＆＃34;在数学中称为有根二进制树。只有有根树的子节点具有子节点的概念，在非根树中没有父子层次结构，所有节点都相等。该声明仅对非空根树有效。

以下是感应的详细证明。

感应碱。对于单节点树，该语句显然是正确的：它有一个叶子（根），没有完整的节点。
诱导步骤。假设对于具有 N 节点的所有有根二进制树，对于某些正整数 N ，该语句为真。给定具有 N + 1 节点的树 T ，选择叶 L 并将其删除。结果是具有 N 节点的树 T＆＃39; ，其语句为true。假设 L 的父级是 L＆＃39; 。有两种情况：
- L＆＃39; 是 T＆＃39; 中的一片叶子。然后 T 与 T＆＃39; 具有相同数量的叶子（因为一个叶子， L ，添加了一个节点， L＆＃39; ，失去了它的叶子状态）。 T 和 T＆＃39; 中的完整节点数相同（因为相同的节点已满）。
- L＆＃39; 在 T＆＃39; 中只有一个孩子。然后 T 还有一个叶子比 T＆＃39; （因为 L 是一个新的叶子）和一个比 T＆更多的完整节点＃39; （因为 L＆＃39; 是一个新的完整节点）。
在任何一种情况下，叶数和完整节点数之间的差异都不会改变。因此，对于具有 N + 1 节点的所有有根二进制树，该语句都是正确的。

根据归纳原则，对于所有正整数 N ，该陈述都是正确的。

这个证明的一个更短（但仍然完全可以接受）的版本如下：

使用其父节点折叠一个叶子。叶子数量和完整节点数量之间的差异不会改变。

这个答案并不试图解释mathematical proof是什么，或提供构建证据的一般方法。

Answer 2

fn = no. of full nodes 
l = no. of leaves
n = no. of nodes
h = height of tree

对于完整的树：

h = log (n+1)

和

没有。节点= 2 *完整节点+根

那是：

2 * fn +1 = n

另外，

l = 2^(h-1)

因为除了root之外的每一行中的节点数是前一行的两倍。

所以，

l= 2^ (log (n+1) -1) = (n+1)/2

或者，

n = 2 * l -1

从之前的扣除中：

2 * fn + 1 = 2 * l - 1

或者，

fn + 1 = l

证明二叉树中的节点数比叶子数少

2 个答案: