叶子的数量比Haskell中的节点数量大一个

Question

我必须证明给定一个二叉树，叶子的数量等于在Haskell中使用归纳的节点数量加上一个。 给定以下类型的树：

data Tree = Leaf Int | Node Tree Tree 

我定义了两个名为leaves和nodes的函数，它们分别返回叶子和节点的数量：

通过归纳，我知道我需要证明基本情况，即当节点数为0时，对于归纳步​​骤，我需要使用归纳假设。但这让我失望的是，有两个功能，我真的不知道要继续。在基本情况下，我应该表明，如果节点数为0，叶数是1还是？ / p>

Answer 1

通过归纳法实现这一目标＆＃34;没有使用induction on natural numbers，而是使用structural induction。证据就像这样打破了：

基本案例

基本情况适用于Leaf x，其中x是Int。所以你必须证明任何x

leaves (Leaf x) = 1 + nodes (Leaf x)

归纳步骤

在归纳步骤中，您假设两个归纳假设：

1. leaves t = 1 + nodes t
2. leaves u = 1 + nodes u

证明

leaves (Node t u) = 1 + nodes (Node t u)

我会让你填写实际的证据。

旁注：

结构归纳是对自然数的归纳的推广。特别是，您可以将自然数定义为

data Nat = Z | S Nat

现在，您可以使用p Z的基本案例进行归纳，并采用假定p n并证明p (S n)的归纳步骤。

结构归纳本身可以进一步推广到well-founded induction，这是我所知道的归纳的最一般的数学概念。请注意，维基百科页面基于经典的基础概念; nLab给出了一个与有充分根据的归纳更紧密联系的建设性版本。