Question

我试图在lambda演算的上下文中理解xor。我理解https://en.wikipedia.org/wiki/Exclusive_or中的xor（Exclusive或）作为布尔逻辑运算和xor的真值表。

但是为什么它是真的如xor b =（a）（（b）（false）（true））（b）来自http://safalra.com/lambda-calculus/boolean-logic/ 这确实是lambda演算所期望的。当我看到真正=λab.a 假=λab.b 我有点必须看到true和false作为lambda calc true和false，因为它返回第一个元素，如果是true。但是理解这里的xor也是一个名字但是与布尔逻辑中的xor不同是正确的吗？

Answer 1

直观地说，我们可以将A XOR B视为

如果是A，那么不 B
否则，B

....或某些伪代码：

func xor (a,b)
  if a then
    return not b
  else
    return b

让我们得到lambda calculusing

true := λa.λb.a
false := λa.λb.b

true a b
// a

false a b
// b

接下来我们会not

not := λp.p false true

not true a b
// b

not false a b
// a

我们接下来可以if（请注意，这有点愚蠢，因为true和false已经表现得像if）

if := λp.λa.λb.p a b

if true a b
// a

if false a b
// b

好的，最后写一下xor

xor := λa.λb.if a (not b) b

(xor true true) a b
// b

(xor true false) a b
// a

(xor false true) a b
// a

(xor false false) a b
// b

请记住if在这里有点笨，我们可以将其删除

xor := λa.λb.a (not b) b

现在，如果我们想用纯lambda编写所有内容，只需将not替换为其定义

xor := λa.λb.a (not b) b
->β [ not := λp.p false true ]

xor := λa.λb.a ((λp.p false true) b) b
->β [ p := b ]

xor := λa.λb.a (b false true) b

在此点，您可以看到我们有您问题的定义

a xor b =（a）（（b）（false）（true））（b）

但是当然引入了额外的自由变量false和true - 你可以用一些额外的beta减少代替那些

xor := λa.λb.a (b false true) b
->β [ false := (λa.λb.b) ]

xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) true) b
->β [ true := (λa.λb.a) ]

// pure lambda definition
xor := λa.λb.a (b (λa.λb.b) (λa.λb.a)) b

Answer 2

考虑a（b F T）b，中间表达式本质上是（not b），所以a（not b）b仅在a和b不同时才为真。

lambda calculus xor expression by true false

2 个答案: