Question

我有一个动态编程问题，我花了几个小时研究无济于事。

第一部分很简单：你有一个背包物品，你必须最大化这些物品的价值，同时保持它们低于一定的重量。

问题的第二部分是相同的，除了现在还有一个项目限制。例如：

您可以放入行李中的物品的最大价值是多少，以便在重量和物品限制下最大化价值？

我不知道如何实现这个问题的第二部分，我正在寻找一般算法。

Answer 1

在没有项目限制的动态编程solution中，您有2D矩阵，其中Y轴是项目索引，X轴是权重。然后对于每个项目，您在

之间选择最大的权重对

重量值，包括项目重量＆lt; =重量限制
不包括项目的重量值

以下是Python标准解决方案的示例：

def knapsack(n, weight, values, weights):
    dp = [[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)]

    for y in range(1, n + 1):
        for x in range(weight + 1):
            if weights[y - 1] <= x:
                dp[y][x] = max(dp[y - 1][x],
                               dp[y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
            else:
                dp[y][x] = dp[y - 1][x]

    return dp[-1][-1]

现在，当您添加项目限制时，您必须为每个项目选择最大值，值，使用三元组的项目数量

重量值和n项，包括项目重量＆lt; =重量限制
重量值和n项除外项目

为了表示项目数量，您只需将第三个维度添加到以前使用的表示已使用项目数量的矩阵中：

def knapsack2(n, weight, count, values, weights):
    dp = [[[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(count + 1)]
    for z in range(1, count + 1):
        for y in range(1, n + 1):
            for x in range(weight + 1):
                if weights[y - 1] <= x:
                    dp[z][y][x] = max(dp[z][y - 1][x],
                                      dp[z - 1][y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
                else:
                    dp[z][y][x] = dp[z][y - 1][x]

    return dp[-1][-1][-1]

简单演示：

w = 5
k = 2
values = [1, 2, 3, 2, 2]
weights = [4, 5, 1, 1, 1]
n = len(values)

no_limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, no item limit: {}'
limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, item limit {}: {}'

print(no_limit_fmt.format(w, knapsack(n, w, values, weights)))
print(limit_fmt.format(w, k, knapsack2(n, w, k, values, weights)))

输出：

Max value for weight limit 5, no item limit: 7
Max value for weight limit 5, item limit 2: 5

请注意，您可以稍微优化一下有关内存消耗的示例，因为在将第z项添加到解决方案时，您只需知道z-1项的解决方案。此外，您可以检查是否可以在开始时将z项目置于权重限制之下，如果不能相应地减少项目限制。

背包多重约束

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