Question

使用以下算法（来自Leetcode）：

给定非空字符串s和包含非空字列表的字典wordDict，确定s是否可以被分段为一个或多个字典单词的空格分隔序列。您可能认为该词典不包含重复的单词。

例如，给定 s =＆＃34; leetcode＆＃34;， dict = [＆＃34; leet＆＃34;，＆＃34; code＆＃34;]。

返回true，因为＆＃34; leetcode＆＃34;可以分段为＆＃34; leet code＆＃34;。

天真的解决方案如下：

public class Solution {
    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        return word_Break(s, new HashSet(wordDict), 0);
    }
    public boolean word_Break(String s, Set<String> wordDict, int start) {
        if (start == s.length()) {
            return true;
        }
        for (int end = start + 1; end <= s.length(); end++) {
            if (wordDict.contains(s.substring(start, end)) && word_Break(s, wordDict, end)) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度列为O（n ^ n），因为它的递归树有多大。我完全同意递归树的最后一级有N ^ N个元素，但是那个级别之前没有N ^（N-1）？所以我们正在研究N ^ N + N ^（N-1）+ N ^（N-2）...导致更高的时间复杂度正确吗？

Answer 1

当我们谈论时间复杂性和特别是Big-O表示法时，我们只需要参考增长最快的因子。因此，我们写N^N + N^(N-1)...时TIME(N^N + N^(N-1)...)可能是正确的，但这相当于O(N^N)，因为N^N是增长最快的因素。

例如，我可以在TIME(N^2 + N + 123)中运行一些算法，因为N^2是增长最快的部分，我们只是说TIME(N^2 + N + 123) = O(N^2)。

Answer 2

由于项N ^（N-2），N ^（N-3），... N ^（1）小于N ^（N-1），我们可以推导出N ^（N-1））+ N ^（N-2）+ ... + N ^ 1小于N * N ^（N-1）= N ^ N因此您的总和小于2 * N ^ N = O（N ^ N）

Answer 3

让我们从时间复杂度函数的上限开始一个简单的递归关系（即假设它在没有找到匹配的情况下整个循环）：

此处i为start，N为s.length()。每个术语对应于：

1st：使用word_Break对start = end进行递归调用，其中end为j
第二名：使用长度为wordDict.contains的子字符串调用end - start + 1。

既然wordDict是一个哈希集，这个调用是O(L)，其中L是输入词的长度（因为我们需要复制子串并对其进行哈希）

展开：

（Wolfram alpha的最后一步）

这与你的消息来源完全不同。

作为我答案的补充支持，让我们做一个数值测试：

uint64_t T(uint32_t N, uint32_t start)
{
   if (start >= N) return 1;
   uint64_t sum = 0;
   for (uint32_t end = start + 1; end <= N; end++)
      sum += (end - start + 1) + T(N, end);
   return sum;
}

结果：

N        T(N)
-----------------
1        3 
2        9 
3        22 
4        49 
5        104 
6        215 
7        438 
8        885 
9        1780 
10       3571 
11       7154 
12       14321 
13       28656 
14       57327 
15       114670 
16       229357 
17       458732 
18       917483 
19       1834986 
20       3669993 
21       7340008 
22       14680039 
23       29360102 
24       58720229 
25       117440484 
26       234880995 
27       469762018 
28       939524065 
29       1879048160 
30       3758096351 
31       7516192734 
32       15032385501 
33       30064771036 
34       60129542107

时间复杂度的对数比例图：

正如您所看到的那样，这是线性的，这意味着时间复杂度的格式为a^N而不是 N^N。

相比之下，T(N) = O(N^N)会给出以下情节：

哪个不是线性的，并且很多更快（注意垂直轴上的数字）。

时间复杂性澄清

3 个答案: