Question

对于下面mystery(n)函数的伪代码，找到其渐近最坏情况运行时间f(n)的紧上限和下限。也就是说，找到g(n)使得f(n)∈Θ(g(n))。（假设n是正整数）

Mystery (n ){                  
 c ←1                          | (constant)
 for i ←1 to n                 | n
   do for j ←i to n            | j
     do for k ← n down to n/2  | n/2
       do c ← c + 1            | (constant)
 print c                       | (constant)
}

总时间：（n / 2）nj（不确定）

侧面的时间标签是我到目前为止所知道的。对于这个问题，似乎最佳和最差情况运行时间之间没有区别？另外，如何找到此方法的上下限？任何建议都会很棒。或者我可以阅读的资源，因为我的教科书对这个主题非常模糊。

Answer 1

j不应出现在您的公式中，因为j也是n的函数。

每当你有一个依赖于外部循环变量的循环时，我发现最容易查看求和公式以找出复杂性。

所以外循环肯定会运行n次，而最里面的循环肯定会运行n/2次，但总的来说是n/2 ∈ O(n)。

所以，让我们看看中间循环。

中间循环在第一次迭代时运行(n-1)次，在第二次迭代时运行(n-2)次，一直到(n-n)，等于0次。您可以将这些术语重新排列为0到n的总和。我们知道这个总和等于n(n+1)/2。

由于此公式表示外部循环和中间循环的组合，因此您可以简单地将最里面的循环相乘以得到n(n+1)n/(2*2) == n^2(n+1)/4的最终公式。

你应该意识到的一个概念性事情是，因为c只是一个计数器，并且它在每次迭代时递增，c可以被认为是此运行时复杂性的直接表示算法

您可以通过计算c来验证此结果。这是一个用C语言编写的示例程序，用于演示此算法：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
  int c = 0;
  int n = 10;
  if (argc > 1) {
    n = atoi(argv[1]);
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    for (int j = i; j <= n; ++j) {
      /* Note that I've changed k to run from 0 to n/2 instead of n
         down to n/2, but this doesn't change the result. */
      for (int k = 0; k < n/2; ++k) {
        ++c;
      }
    }
  }
  printf("c == %d; n^2(n+1)/4 == %d\n", c, n*n*(n+1)/4);
}

这里是输入2,4,8,32和64的上述程序的输出：

c == 3; n^2(n+1)/4 == 3
c == 20; n^2(n+1)/4 == 20
c == 144; n^2(n+1)/4 == 144
c == 8448; n^2(n+1)/4 == 8448
c == 66560; n^2(n+1)/4 == 66560

Answer 2

Mystery (n ){                  
 c ←1                          | (constant)
 for i ←1 to n                 | n
   do for j ←i to n            | j
     do for k ← n down to n/2  | n/2
       do c ← c + 1            | (constant)
 print c                       | (constant)
}

关于运行n次的外循环，你是对的。然而，对于i = 1，下一个循环将运行n次，对于i = 2，n = 1次，...，对于i = n-1，运行2次，对于i = n，运行一次。平均而言，j循环将运行n/2次，因此该中间循环也被认为是O（n）循环。当您组合所有三个嵌套循环时，这会使总运行时复杂度为O（n ^ 3）。

渐近最坏情况下的运行时间。需要一些澄清

2 个答案: