Python在椭圆上找到已知点的投影点

Question

我需要实现这个过程：

关于下面的图像，我知道红点的坐标。我必须找到椭圆中红点的投影，因此是椭圆的紫点。

我有橙色线的点和椭圆的点。

有没有可用的算法来执行此操作？

Answer 1

你可以在红点处构造一个带有非右顶点的直角三角形，然后这将允许你计算从投影点到橙色线的距离，该距离与紫色点的长度相同。

三角形构造可以通过在红点之间构造线（A），找到原点和橙线（角度B）之间的角度来进行。从那里，A线和右顶点线之间的角度由90-（角度B）给出。然后是和弦的长度。

Answer 2

让从“中心”红点 c 到另一个红点 r 的矢量为 u ，并且来自中心的矢量红点指向橙色线上的其他点 v 。我们希望将 u 旋转两倍于 u 和 v 之间的角度。设θ为 u 和 v 之间的角度。我们可以使用rotation matrix两次θ，并将其乘以 u ，以获得从红色“中心”点 c 到紫色点的矢量 p 的。由于我们知道红点线和橙线之间角度的余弦，我们不应该采用角度或任何东西的任何正弦或余弦，我们可以在向量中表达所有这些。 {3}}等等。

人们可能会把这个问题归结为一个更简单的等式，但这是一个反映“展示你的工作”的算法：

• 将余弦（θ）定义为 u * v / || u || ||的 v ||

• 使用dot product和double angle身份从余弦（θ）中找出余弦（2θ）和正弦（2θ）

• 构建pythagorean

• 将旋转矩阵乘以 u 以获得 w ，从 c 到 p 的向量

• 将 w 的组件添加到 c 的坐标中以获取 p 的坐标

Answer 3

鉴于你没有为点和线指定方程的确切形式，我将假设以下符号：橙色线穿过原点并沿着矢量[v1,v2]，这样它的每个点都可以写成a*[v1,v2]。鉴于此，以下方法应该有效：

1. 找到v的任何垂直向量（我将其称为n）：具有非零n2的n=[-(v2*n2)/v1, n2]形式的任何向量。

2. 通过沿着n的红点（不是原点）表示线：[r1,r2]+b*[-(v2*n2)/v1, n2]描述任何这样的点。

3. 找到这些线相交的参数a和b：求解 v1 = r1-b （v2 * n2）/ v1和a * v2 = r2 * b * n2对于a和b。b的结果，这是你需要的结果：

   b= (v1*(r1*v1-r2*v1))/(n2*(v1^2 + v2^2))
   

4. 对于你选择的n2，紫色点的坐标为[r1,r2]+2*b*[-(v2*n2)/v1, n2]。