Question

我需要找到一个最大的数字，x代表给定的y和n，这样x ^ y＆lt; = n

这里n可以是非常大的数 - 1 <= n <= 10 ^ 10 1＆lt; = y＆lt; = 10 ^ 5

for example : 

for y = 5 and n = 1024
x ^ 5, then x = 4 (4 ^ 5 = 1024)

for y = 5 and n = 480
x ^ 5 , then x = 3 (3 ^ 5 = 243, 4 ^ 5 = 1024) - selecting lowest one, so x = 3

我写了一个小程序，但我想要更高效的技术，因为n和y可能非常大。

def get(y, n):

    x = 1
    while x ** y <= n:
        x += 1
    return x - 1

Answer 1

使用多精度算术库，例如gmpy2的iroot。

>>> import gmpy2
>>> root, exact = gmpy2.iroot(n, y)

这只是一个整数的第n个根算法。它应该是快速和正确的，即使对于大数字（在一般情况下浮动不能保证的东西）。

返回的第二个值是一个布尔值，表示根是否准确。

>>> print(*gmpy2.iroot(1024, 5))
4 True
>>> print(*gmpy2.iroot(480, 5))
3 False

Answer 2

如果您应用浮动数学，则可以对整数使用二进制搜索从O(x)移动到O(log(x))：

x^y = n  // ^(1/y)
x = n^1/y
x = floor(pow(n,1/y))

您的示例n=400和y=5是这样的：

x = floor(pow(400,1/5))
x = floor(pow(400,0.2))
x = floor(3.3144540173399868004685801443126)
x = 3

对于大n，粗略的

将不适用于基本浮动类型。在这种情况下，要么在大整数上使用bin搜索，要么在没有它的情况下使用你自己的bigint pow。无论如何，这两种方法都在这里描述：

Power by squaring for negative exponents不会被标题弄为全部数学......

<强> [EDIT1]

在吸收你的意见之后：

n = < 1 , 10^10 >
y = < 1 , 10^5 >
no FPU just integer math

我会使用二进制搜索。您需要使用至少ceil(log2(10^10))=34 bit个变量，因此无符号的64位QWORD。如果你没有这样的变量，你需要首先从较低的位宽变量实现它。

二进制搜索掩码将是：

m = 2^33 = 1<<33 = 0x0000000200000000

因此，您首先需要实施pow，然后root调整来自链接答案的代码 C ++ 结果：

#define T_bits 34
#define T_MSB  0x0000000200000000
#define T      QWORD

T pow(T x,T y)  // power by squaring returns z=x^y where x>=0, y>=0
    {
    T i,z=1;
    for (i=0;i<T_bits;i++)  // test all bits from MSB to LSB
        {
        z*=z;
        if (T(y&T_MSB)) z*=x;
        y<<=1;
        }
    return z;
    }
T bits(T x) // count how many bits is in x
    {
    T m=T_MSB,z=T_bits;
    for (;m;m>>=1,z--)
     if (x>=m) break;
    return z;
    }
T root(T x,T y) // bin search y-th root returns z=x^(1/y)
    {
    T m,z;
    m=((bits(x)+y-1)/y);        // ceil(bits(x)/y)
    if (m) m=1<<m; else m=1;    // MSB of the result for bin search 2^(ceil(bits(x)/y))
    for (z=0;m;m>>=1)           // test all bits of x from MSB to LSB
        {
        z|=m;                   // set actual bit
        if (pow(z,y)>x) z^=m;   // clear if result exceedes x
        }
    return z;
    }

对于那些只有32位算术且有情人限制n<2^32的人，将定义更改为：

#define T_bits 32
#define T_MSB  0x80000000
#define T      DWORD

或使用您随意使用的任何其他变量类型。 T是您的数据类型T_MSB是MSB位设置，T_bits是位数。

如果您使用：

root(400,5);

它将返回3。您可以使用**代替pow我不能，因为我的编译器无法识别**运算符。现在解释二进制搜索

让我们假设你的榜样。您从x=1开始，然后测试x=2然后x=3，依此类推，直到您越过x^y>=n，所以实际上您检查了pow(n,1/y)个值。如果我们使用会导致n=10000, y=2测试的100。

二进制搜索不会增加，而是设置单个位。 10000有14位，所以ceil(14/y)=7所以过程将是：

x with set bit|  x^y  | action
-------------------------------
0100 0000 bin |  4096 | none
0110 0000 bin |  9216 | none
0111 0000 bin | 12544 | clear
0110 1000 bin | 10816 | clear
0110 0100 bin | 10000 | none
0110 0010 bin | 10404 | clear
0110 0001 bin | 10201 | clear
-------------------------------
0110 0000 bin | 10000 | result

仅导致7次测试，而不是您的幼稚100。

找到最大数，x对于给定的y和n使得x ^ y <= n

2 个答案: