递归函数的空间复杂性

Question

鉴于以下功能：

Element Hello has been added, the list is : [<__main__.StringClass object at 0x1048a0cf8>, None]
Hello

我知道Big O时间复杂度为int f(int n) { if (n <= 1) { return 1; } return f(n - 1) + f(n - 1); } ，因为每次调用都会调用该函数两次。

我不明白为什么空间/内存复杂度为O(2^N)？

Answer 1

解决这些类型问题的有效方法是考虑recursion tree。要识别的递归函数的两个特征是：

1. 树木深度（总数 返回语句 将执行，直到基本情况为止）
2. 树宽度（将会有多少 递归函数调用 ）

此案例的递归关系为 C / \ / \ T(n-1) T(n-1) C ____/ \____ / \ C C / \ / \ / \ / \ T(n-2) T(n-2) T(n-2) T(n-2) 。正如你正确地注意到2^n的时间复杂度，但让我们看看它与我们的递归树有关。

O(2^n)

此模式将持续到我们的基本情况为止like this。

对于每个连续的树级别，我们的n减少1.因此，我们的树在到达基本情况之前将具有深度n​​ 。由于每个节点有2个分支，并且我们有n个总级别，因此我们的节点总数为O(recursion depth)，使我们的时间复杂度O(n)。

我们的内存复杂性由返回语句的数量决定，因为每个函数调用都将存储在程序堆栈中。总而言之，递归函数的内存复杂度为List 1。正如我们的树深度所示，我们将有n个总返回语句，因此内存复杂度为import Foundation import RealmSwift class ShoppingList: Object{ dynamic var listName = "" var itemList = List<Item>() } 。

Answer 2

这是我的想法：

• 诱惑是说空间复杂度也将是O（2 ^ N），因为毕竟必须为每个O（2 ^ N）递归调用分配内存，对吗？ （不正确）
• 实际上，这些值相加/折叠，因此所需的空间只是从基本情况开始的每次调用的结果，形成数组[f（1），f （2），f（3）... f（n）]，换句话说就是O（n）内存

Answer 3

考虑到其他功能，可以更好地解释这一点
f（n）= f（n-1）+ f（n-2）
f（0）= 0，f（1）= 1

这将导致f（4）的以下计算树

f（4）
f（3）f（2）
f（2）f（1）f（1）f（0）
f（1）f（0）

系统可以使用等于深度的重复存储堆栈（f（0），f（1），f（2），f（3）和f（4）的存储单元来处理计算。尽管运行时需要考虑每个节点上的所有操作（加法或return语句），所以这是不影响任何节点的因素。

Answer 4

我在两篇文章中找到了明确的答案。

第一次

在这个 article 处，它告诉我为什么空间复杂度是 O(n)。

但我也很困惑为什么 the stack frames 一次只有 f(5) -> f(4) -> f(3) -> f(2) -> f(1) 而没有 f(5) -> f(4) -> f(3) -> f(2) -> f(0) 和其他。

The Fibonacci tree 图像：

然后我终于在第二篇文章中找到了答案，它清除了我的困惑。

第二个

在这 article 处很有帮助。您可以在此处查看详细信息。

The stack frames 图像：

谢谢。

Answer 5

递归问题我们可以认为我们是用栈实现的，所以如果第一个函数调用自己第二个函数pause，它遍历到最后一个一个的加入到栈中，完成后返回并一个个remove从最顶层的堆栈，然后第二个函数恢复并遍历末尾并添加到堆栈的最顶层，并在返回时删除。但是它使用相同的堆栈，并且在同一堆栈下最多占用n个空间，因此使用空间复杂度为O(n)。